聚焦三角函数的求值题型

■徐春生

三角函数的求值题型是三角恒等变换的重要题型，解决这类问题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解。

一、给角求值型

例1

分析：先将65°化为35°+30°，再利用两角和的正弦公式展开化简即可。

解：应选C。

评注：给角求值型的解题思路：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角恒等变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值。

二、给值求值型

例2已知，则sinα=____。

分析：先将α化为，再由已知条件求出的值，最后利用两角差的正弦公式求值。

解：由得因为所以由可 得

评注：给值求值型解题的关键在于“变角”，如α= （α+β）-β，2α= （α+β）+（α-β）等。解题时，可把所求角用已知角的式子表示，但要注意对角的范围进行讨论。

三、给值求角型

例3已知，且0＜β＜α，则β=____。

分析：先利用同角三角函数的基本关系求出sinα和sin（α-β）的值，再利用两角差的余弦公式求出cosβ的值，进而根据角的范围求出β的值。

解：由，可得所以

由β=α-（α-β），可得cosβ=cosα·

评注：给值求角型的解题常遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是（0，π），选余弦函数较好，若角的范围是选正弦函数较好。（2）讨论角的取值范围。（3）根据角的取值范围求出要求的角。