利用MATLAB计算地铁线路曲线地段限界的加宽范围及加宽量

张 徐

（中国铁路设计集团有限公司机械动力和环境工程设计院，天津 300000）

车辆的运行状态在直线和曲线上是不同的， 曲线段限界需在直线段限界的基础上进行加宽和加高。对于圆曲线、缓和曲线段的限界加宽，《地铁设计规范》(GB 50157—2013)[1]以及《地铁限界标准》(CJJ 96—2003)[2]中均有相应的公式。对于直线和圆曲线、直线和缓和曲线、缓和曲线和圆曲线过渡段的加宽量，却没有相应的计算标准。由此，各大设计院只能参考《铁路隧道设计规范》(TB 10003—99)[3]中缓和曲线加宽方法进行设计。但由于采用《铁路隧道设计规范》中规定的加宽方法计算限界，明显偏大，导致地铁土建投资增加。因此，笔者对曲线段限界加宽方法进行了进一步研究，并利用 MATLAB编写程序，简化计算，以方便工程运用。

1 几何加宽量

1.1 圆曲线地段几何加宽

当车辆完全进入圆曲线，假设车辆、转向架、轨道均为刚性体，分别以车辆纵向中心线、转向架纵向中心线、轨道中心线代替，如图1所示。

A1、B1为前转向架的前后轮对，A2、B2为后转向架的前后轮对，A、B为车体的前后端，M1、M2为前后转向架的中心，M为车体的中心，转向架轴距为p，车辆定距为a，车体长度为b，R为曲线半径。如图1所示，当车辆完全在圆曲线上运行时，最大的内侧几何加宽量出现在车体中部，最大的外侧几何加宽量出现车体两端[2，4]。

图1 圆曲线地段几何加宽Fig.1 Diagram of geometric widening in circular curve

最大内侧几何加宽量：

1.2 缓和曲线地段几何加宽

当车辆完全进入缓和曲线，不同于圆曲线，缓和曲线各处曲率均不一致。《地铁设计规范》(GB 50157—2013)附录E中介绍了缓和曲线几何加宽量的计算方法，而笔者利用作图法以及 MATLAB编写缓和曲线几何加宽量的计算程序，并与规范中的公式进行对比验证。

在铁路设计中，以三次抛物线函数表示缓和曲线[5-7]，其方程为：

式中，R为曲线半径，L0为缓和曲线全长。

将上式展开多项式形式，省去高次项式，并进行积分可得缓和曲线弧长与x坐标之间的关系。

如图2所示，车辆沿缓和曲线运行，当车体连线与缓和曲线a处的垂线相交时，线段ab即为此时缓和曲线a处的内侧加宽量。不难发现，直至车辆驶离a处垂线，加宽量会一直发生变化，取其中内外侧的极值作为a处内侧几何加宽量和外侧几何加宽量。

图2 缓和曲线地段几何加宽Fig.2 Diagram of geometric widening in transition curve

类似a点内外侧几何加宽量的计算，将缓和曲线分成若干等份如图3所示，以直缓点zh为坐标原点，车辆前转向架的一位轮对从原点开始进入缓和曲线，利用 MATLAB求出车体中心线与缓和曲线上各点法线的交点，并连接内外侧法线交点的极值即可求出此缓和曲线地段内外侧几何加宽量控制线。

图3 过渡曲线等分Fig.3 Contour map of a transition curve

以 B型车为例求解缓和曲线的几何加宽量，车长19 m，定距12.6 m，转向架轴距2.2 m。由于B型车车长19 m，故车辆完全处于缓和曲线的范围为缓和曲线长度减去前后各一节车辆的长度。取缓和曲线长度70 m，圆曲线半径分别取500 m、600 m进行分析，利用MATLAB求出当车辆完全处于缓和曲线中时内外侧几何加宽量，并与《地铁设计规范》(GB 50157—2013)介绍的计算方法进行比较，如图4、5所示。

通过图4、5分析可知，两种方法计算出的外侧几何加宽量差值在1～2 mm，内侧几何加宽量相差较小，均在工程允许的误差范围内，另外，也相互验证两种方法的正确性。

图4 R=500 m时，缓和曲线内、外侧几何加宽量对比Fig.4 R=500 m， comparison of inside and outside geometric widening in a transition curve

图5 R=600 m时，缓和曲线内、外侧几何加宽量对比Fig.5 R=600 m， comparison of inside and outside geometric widening in a transition curve

1.3 缓和曲线和直线连接处几何加宽

当车辆进入缓和曲线，但还未完全离开直线段时，如图6所示，以B型车为例，缓和曲线取70 m，圆曲线半径分别取500 m、600 m，利用MATLAB进行分析，并与《地铁设计规范》(GB 50157—2013)介绍的计算方法进行比较，如图7、8所示。

图6 缓和曲线和直线连接处Fig.6 Connection between a transition curve and a straight-line section

图7 R=500 m时，直缓连接处内、外侧几何加宽量对比Fig.7 R=500 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a transition curve and a straight-line section

图8 R=600 m时，直缓连接处内、外侧几何加宽量对比Fig.8 R=600 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a transition curve and a straight-line section

由于《地铁设计规范》中规定的计算公式，仅针对直缓点后的缓和曲线(图6中坐标原点即为直缓点)，故分析图7、8可知，在直缓点附近，两种方法的外侧加宽量相差不大，内侧加宽量的拟合性却有所差别。

之所以造成这种情况，主要是因为直缓点后缓和曲线法线外侧极值一般出现在车辆完全驶入缓和曲线中车辆的后端，适用《地铁设计规范》中规定的外侧几何加宽量的计算公式。

对于内侧加宽量，直缓点后缓和曲线分两部分，其中，直缓点后大约一半全轴距的范围内(B型车7.4 m)，车辆一直横跨两种线型，《地铁设计规范》中规定的内侧几何加宽计算公式不适用，剩余部分的法线内侧极值出现在车辆完全运行于缓和曲线，故《地铁设计规范》中规定的内侧几何加宽量计算方法与 MATLAB程序的计算结果相差不大。

对于直缓点前的直线部分，由于《地铁设计规范》中未规定其内外侧加宽量的计算方法，故可参考本文作图法和 MATLAB编程相结合的方法进行计算，其变化特性如图7、8所示。另外，直线段的外侧几何加宽量的加宽起点位于直缓点前一半车长+一半车辆定距+一半转向架轴距的位置(B型车16.9 m)，直线段的内侧几何加宽量的加宽起点位于直缓点前定距+一半转向架轴距的位置(B型车13.7 m)。

1.4 缓和曲线和圆曲线连接处几何加宽

图9中，以B型车为例，车辆进入圆曲线，但还未完全离开缓和曲线，缓和曲线取70 m，圆曲线半径分别取500 m、600 m，利用MATLAB进行分析，并与《地铁设计规范》介绍的计算方法进行比较，如图10、11所示。

图9 缓和曲线和圆曲线连接处Fig.9 Connection between a circular curve and a transition curve

图10 R=500 m时，缓圆连接处内、外侧几何加宽量对比Fig.10 R=500 m， comparison of inside and outside geometric widening of a connection between a curve and a transition line

图11 R=600 m时，缓圆连接处内、外侧几何加宽量对比Fig.11 R=600 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a circular curve and a transition curve

从图10、11分析可知，对于外侧加宽量，缓圆点之前大约一半车长+一半车辆定距+一半转向架轴距的位置(B型车16.9 m)，由于缓和曲线法线的外侧极值出现在车辆横跨两种线型时，而《地铁设计规范》中的公式仅针对完全运行在缓和曲线或完全运行在圆曲线时，故均不适用。缓圆点之后，圆曲线法线的外侧极值均出现车辆完全运行在圆曲线时，故适用《地铁设计规范》中圆曲线外侧加宽量的计算方法。

对于内侧加宽量，其不适用范围与直缓点类似，为缓圆点前后一半全轴距的范围(B型车7.4 m)。

图12 直线和圆曲线连接处Fig.12 Connection between a circular curve and a straight-line section

图13 R=400 m时，直圆连接处内、外侧几何加宽量对比Fig.13 R=400 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a circular curve and a straight-line section

1.5 直线和圆曲线连接处几何加宽

图12 中，以B型车为例，车辆进入圆曲线，但还未完全离开直线，圆曲线取50 m，圆曲线半径取400 m，利用 MATLAB进行分析，并与《地铁设计规范》介绍的计算方法进行比较，如图13所示。

分析图13可知，对于曲线外侧加宽量，直圆点之后圆曲线部分，曲线法线的外侧极值出现在车辆完全进入圆曲线，适用《地铁设计规范》介绍的圆曲线外侧加宽量计算公式，直圆点之前直线部分，《地铁设计规范》未规定相关的计算公式，可参考本文的MATLAB程序进行计算。且直圆连接处外侧加宽的起点为直圆点前一半车长+一半车辆定距+一半转向架轴距的位置(B型车16.9 m)。

对于曲线内侧加宽量，直圆点后圆曲线分两部分，其中，直缓点后大约一半全轴距的范围内(B型车7.4 m)，圆曲线法线内侧极值出现在车辆横跨前后两种线型，《地铁设计规范》中规定的内侧几何加宽计算公式不适用，剩余部分的法线内侧极值出现在车辆完全运行于圆曲线，故适用《地铁设计规范》中规定的圆曲线内侧几何加宽量计算公式。直圆点前直线段，《地铁设计规范》未规定相应的计算公式，可采用本文的MATLAB程序进行计算。内侧加宽量的起点为直圆点前定距+一半转向架轴距的位置(B型车13.7 m)。

通过上述分析，对于已知相关参数的缓和曲线均可利用编写的 MATLAB程序进行求解内外侧几何加宽量，且相对于《地铁设计规范》的计算公式效率更高，结果更加精确。其流程如图14所示。另外，缓和曲线70 m，圆曲线半径500 m，车型为B型车时，内外侧几何加宽量如图15所示。

图14 几何加宽量计算流程Fig.14 Flow chart of geometric widening calculation

2 轨道超高引起的加宽量

图15 内、外侧几何加宽量Fig.15 Inside and outside geometric widening

式中，he内、he外为轨道超高引起的曲线内外侧加宽量，mm；x为计算点距离缓和曲线起点的距离，m；L为缓和曲线长度，m；R为圆曲线半径，m；h为圆曲线轨道超高值，mm；h缓为缓和曲线上计算点处的超高值，mm；(Y1，Z1)，(Y2，Z2)为计算曲线内外侧加宽量的设备限界控制点坐标，mm。

3 其他因素引起的加宽量

其他因素如欠超高或者过超高引起的加宽量和曲线轨道参数及车辆参数变化引起的加宽量。其中，车站地段取10 mm，区间地段取30 mm。

4 结语

综上所示，缓和曲线的限界加宽量由上述3部分组成，其中几何加宽量在整个加宽量中占主要地位，且其计算过程相对复杂，尤其是直缓和缓圆连接处。因此，笔者通过作图法及 MATLAB软件相结合的方法进行分析，编写适用缓和曲线全区域的计算程序，求解内外侧加宽范围和内外侧加宽量，以供相关设计人员参考运用，简化计算过程。