例谈中考题中的一元二次方程根与系数的关系

文季 伟

在中考中，韦达定理作为一元二次方程的重要考点，其考查的方式也是多种多样的，但万变不离其宗。现在就让我们一起走进南京中考，看看近年来韦达定理在中考题中的风采。

一、已知两根，求系数

例1 （2017·南京）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1，则p=__；q=______。

【解析】本题可以有两种解法：第一种，将两根的值直接带入原方程，转化为二元一次方程组进行求解；第二种，运用根与系数的关系，在本题中x1+x2=-p，x1·x2=q，直接赋值求解即可。

【答案】4，3。

【点评】知道一元二次方程的两个根，我们可以有两种方法去求方程的系数：一种是代入转化为二元一次方程组，另一种是通过根与系数的关系进行求解。很明显，第二种方法比起第一种方法更为高效。而这也显示了学习根与系数的关系对于求方程的系数所带来的高效性。

二、已知一个根与一个系数，求另一个根与另一个系数

例2 （2015·南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是_____，m的值是_____。

【解析】本题可以有两种解法：第一种，将已知根的值直接带入原方程，转化为一元一次方程，先求m的值，再求另一个根的值；第二种，运用根与系数的关系，在本题中x1·x2=3，可以先求出另一个根的值，再通过x1+x2=-m，求出m的值。

【答案】3，-4。

例3 （2019·南京）已知2+ 3是关于x的方程x2-4x+m=0的一个根，则m=___。

【解析】本题可以有两种解法：第一种，将根的值直接带入原方程，转化为一元一次方程进行求解；第二种，运用根与系数的关系，在本题中x1+x2=4，先求出另一根的值，再通过x1·x2=m，求出m的值。

【答案】1。

【点评】已知一元二次方程的一个根与一个系数，要求另一个根与系数，可以有两种方法：第一种，通过代入一个根，先求出另一个系数，再对另一个根进行求解；第二种，通过根与系数的关系，先求出另一个根，再对另一个系数进行求解。当根的值较复杂时，如例3中根的值为2+ 3，直接代入会造成运算的复杂，运用根与系数的关系去求，在计算上会便捷很多。

三、已知两根的关系式和一个系数，求另一个系数

例4 （2016·南京）设x1、x2是方程x2-4x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=1，则x1+x2=______，m=_____。

【解析】本题给出了两根的关系式，但没有明确给出两根的值，仔细观察关系式，发现直接运用根与系数的关系可以得出，x1+x2=4，x1·x2=m，代入关系式求解即可。

【答案】4，3。

【点评】题目中给出了两根的关系式，表面上我们只有一个关系式，但实际上通过根与系数的关系，我们可以得到三个与两根有关的关系式。通过将题目所给关系式转化为根与系数的关系式进行求解，将未知化为已知，即可求出另一个系数的值。

四、已知两根的关系式和一个系数，求两根

例5 （2018·南京）设x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1=______，x2=______。

【解析】本题给出了两根关系式，通过观察可直接运用根与系数的关系得m=x1+x2=1，再代入原方程，求出两根。

【答案】3，-2。

【点评】题目中给出了两根的关系式和一个系数，要直接求出两个根有一定困难。但通过根与系数的关系，我们可以得出另一个系数的值，将方程完整地表达出来。最后通过解方程，求出方程的两个根。

通过上述例题，我们可以看出，在解一元二次方程根与系数关系题目时，需注意以下两点：

1.若题目中给出了根或系数，要求未知的根与系数，可以有多种方法，但运用一元二次方程根与系数的关系，可以使得求解过程更加简单高效；

2.若题目中给出的是两根的关系式，要求根或系数，则可从一元二次方程根与系数的关系式出发，将题目中的关系式转化为我们所熟悉的关系式进行求解。