直线方程中的错解剖析

■徐彩娥

求过定点的直线方程,主要是利用待定系数法求解的。同学们在具体解题时,由于对直线方程的适用范围认识不清,对解题过程考虑不周,对解题方法使用不当,往往会导致错解或漏解。下面剖析几例,以期对同学们的学习有所帮助与提高。

例1求经过两直线7x+8y-38=0和3x-2y=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程。

错解：由可解得交点坐标为(2,3)。因为所求直线在两坐标轴上的截距相等,所以可设直线方程为1。由此直线经过交点(2,3),可得a=5。

故所求的直线方程为x+y-5=0。

剖析：直线的截距式方程只适用于截距不为0 的情形,上述解法忽略了截距为0的情形,即此解法产生了漏解。

正解：当直线过原点时,设直线方程为y=kx。因为直线过交点(2,3),所以3=2k,即,此时直线方程为3x-2y=0。

综上可得,所求直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0。

例2求过点P(2,-1)且与点A(-3,-1)和点B(7,-3)的距离相等的直线方程。

错解：设所求直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0。

由题意可知点A(-3,-1),B(7,-3)到直线kx-y-2k-1=0的距离相等,所以,即,解得。故所求直线方程为x+5y+3=0。

剖析：由于上述解法所设的直线方程是点斜式,故默认了直线的斜率一定存在。事实上,当直线的斜率不存在时,过点P(2,-1)的直线方程为x=2也满足题意,因此上述解法产生了漏解。

正解1：当所求直线过点P(2,-1)且斜率不存在时,直线方程为x=2,这时点A(-3,-1)和点B(7,-3)到这条直线的距离都是5,因此x=2满足题意。当所求直线过点P(2,-1)且斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由上述错解可得直线方程为x+5y+3=0。

综上可得,所求的直线方程是x+5y+3=0或x=2。

正解2：把点P(2,-1)看作是直线x=2与y=-1的交点,这时可设所求直线方程为y+1+λ(x-2)=0,即λx+y-2λ+1=0。

因为点A(-3,-1)和点B(7,-3)到直线λx+y-2λ+1=0的距离相等,所以由点到直线距离公式可得,即得|5λ|=|5λ-2|,所以5λ-2= -5λ或5λ-2=5λ。 由5λ-2=-5λ,解得;由5λ-2=5λ,可知λ无解,即λ不 存 在。 当时,直线方程为x+5y+3=0,当λ不存在时,通过对直线x-2=0进行画图检验,可知符合题意。

故所求直线方程为x+5y+3=0或x=2。