合理化分类归纳 构建模型出效率——例谈应用一元二次方程巧解实际问题

江苏省启东市大江中学 张争艳

在初中生的数学学习过程中，往往面对一些叙述冗长的应用性实际问题，学生感到一筹莫展。为了让学生轻松掌握解决实际性应用题的有效门径，教师可以积极引导学生借助一元二次方程找到解决实际问题的钥匙，并为将来二次函数的实际应用创造有利条件。笔者认为，教师只有把一些基础性的一元二次方程应用题进行合理化的分类归纳，才能构建通俗化数学模型，让学生在轻松愉悦的氛围中学有所获。

一、握手问题

例1 在北海市局组织的一些教学交流座谈会上，每两个出席者都相互握了一次手，根据现场统计，共握了66次手，试问这次会议到底有多少人参加？

【题型分析】握手问题属于比较常见的一元二次方程的应用问题，既有一般模式，也有微妙的变化，教师一定要引导学生从身边的问题入手：假如八（1）班教室里共有49个学生和一个任课教师，那就可以提出如下问题：教师希望与全班所有学生握一次手，那这个教师一共需要握多少次手？解决此题时可以让学生通过数一数、想一想的途径，就知道是49次了。在此基础上，教师再引导学生分析：再派一个人与其他人握手，共握（2×49）次，再派一个人与其他人握手，共握（3×49）次…… 直至全部派出来，共握了（49×50）次；同时，还要斟酌教师和任意一位学生握了几次手，不难考虑是两次，从而得到握手问题的一般模型为。为此，解决例1时要求学生明白两人之间只有一次事件发生，为了去掉重复的，应该除以2，会议握手问题就可以轻而易举地解决了，即=66。引导学生考虑“握手”问题，可以自己改编成开会、比赛、签合同、赠书和送卡等活动。如类似习题：在东海经济发展区举行的商品展销会上，要求参加的每两家公司之间都签订一份合同，结果共签订了41份交易合同，问共有多少家公司参加这次交易会？大部分学生能立即找到解题思路：先设共有n家公司参加商品交易会，由题意得方程=41，问题迎刃而解。

1．比一比

例2 参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，问一共有多少支队伍参加篮球比赛？

例3 某市要组织一次足球联赛，要求采取单循环形式，每两队之间赛一场，组委会计划举行15场比赛，试问一共有多少个足球队参加了比赛？

【题型分析】由于例2是两队之间进行两场比赛，例3是两队之间只进行一场比赛，因此，例2列的方程为n(n-1)=90，例3的方程为=15。经过比较，理清“除以2”是“去重复”的含义，从而轻松得出结论。

2．变一变

例4 一个具有20条对角线的凸多边形应该是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？假如存在，它又是几边形？假如不存在，请简要说明得出结论的道理。

【题型分析】教师可以启发学生想象每个小点都有一只小手与其他小手握手，但务必思考：不能与本身或相邻的点握手。因此，从每个点出发，不仅有（n-3）条对角线，而且线段AB和线段BA是同一条线段，所以可以列出方程=20。

总之，在学生掌握握手问题的基础上，教师还必须让学生张开创新思维的翅膀进行变换，从而轻松地解决实际问题。

二、增长率问题

例5 凤凰村2011年的人均收入为11000元，2013年的人均收入为16000元，试求人均收入的年平均增长率是多少。

【题型分析】教师在引导学生解决类似增长率的应用题时，可以让学生先设人均收入年增长率为x，2011年的人均收入为11000元，到2012年底，增添的收入为11000x元，因此，2012年底人均收入为11000（1+x）元，由此可知2013年底的人均收入为11000（1+x）2元，由题意列方程得：11000（1+x）2=16000。可见，要解决此类问题，教师必须让学生总结出增长率问题的一般模型：a(1±x)2=b，其中，a是初始数，b是结束的数目，n是增长的次数,这样才能顺利解答增长率问题。

三、几何问题

例6 一个直角三角形的两条直角边相差6分米，面积是8平方分米，试求这个直角三角形的斜边长是多少分米？

【题型分析】此类几何类应用题不能让学生直接设斜边长为x,学生会多走弯路。最佳的途径应该是让学生间接设未知数，即设其中的一条直角边为x分米，并根据“直角三角形的两条直角边相差6分米”得出另一条直角边长为(x+6）分米。接着借助“直角三角形面积是8平方分米”列出方程：=8。当学生迅速解出未知数后，再结合问题的实际情况正确取舍未知数的值，并计算出斜边长，从而得出解决类似问题的一般思路：在采用长度关系设未知数的基础上，利用面积关系列出方程解题。

四、利润问题

例7 某淘宝商店销售一批牛仔裤，平时每天能够卖出20条裤子，每条卖出去的牛仔裤获得40元的利润，为了增加销售量，获取更多的利润，淘宝商店的店主决定采取薄利多销的降价措施，经调查发现，每条牛仔裤每降价1元，淘宝店每天可多售出2条牛仔裤。如果淘宝店想要每天获利1200元，请你为这个店主算一下，每条牛仔裤应降价多少元？

【题型分析】此题属于利润型应用题，原来每条牛仔裤盈利40元，每天销售了20条，那每天的利润为4020=800元。店主为了增加销售量，获取更多的利润，采取薄利多销的降价手段，经调查发现，每条牛仔裤降价1元，这个淘宝店就可多售出2条牛仔裤。若每条牛仔裤降价x元，则每条裤子的利润是（40-x）元，该店每天就能多销售出（20+2x）条牛仔裤，而每天的盈利=每件利润销售量，则可列出方程：（40-x）(20-2x)=1200,解此方程得：x1=10,x2=20。最后，学生根据题意选取x2=20的值，也就是每条牛仔裤应降价20元。

春风杨柳万千条，解题思路多渠道，合理分类巧归纳，实际问题没烦恼。学生只有灵活应用一元二次方程的解题思路，才能逐步提高分析问题和解决问题的能力.同时，在解决具体问题时，只要认真地阅读题目，缜密分析题意，学会分解题目、各个击破，就能找到相应已知的条件和未知问题，并通过归类和建模方法理顺已知与未知之间的逻辑关系，轻松列出相应的式子与方程求解。