基于“学—思—行”的高中平面向量教学思考*

江西师范大学教育学院 (330022) 金贵燕江西师范大学数信学院 (330022) 刘咏梅

《普通高中数学课程标准(2017年)》提出了明确的课程目标，体现了立德树人、全面发展的理念[1].《课标》将“平面向量及其应用”纳入必修主题三《几何与代数》之中并指出：向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景.向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁[1].要落实课程目标，需要回归教育本源，体现“学—思—行”一体化.

一.“学”“思”“行”的特点及联系

“学—思—行”一体化源于中外教育的基本观点，我国教育家、思想家孔子将学习过程概括为“学—思—行”统一过程，这一思想经儒家思孟学派进一步提出“博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之”(《礼记·中庸》).《陶行知教育名篇》中指出陶行知倡导“行是知之始，知是行之成”，并认为学中有思，思中有学，学思中有行.“学—思—行”是完整教育的基本因素，三者相互联系、互为前提，在学生的发展中又各有侧重.

1.博而不泛之“学”

学生以学为主，“学”是最基本的过程，是教育存在的条件，也是学生的主要任务.“学”要做到“博而不泛”，既要使学生明确知识的来龙去脉，使“学”适当“博”，又要形成知识主线.

学生在教师创设的教学情境中探索、分析、归纳、概括等，获得知识.如概念教学中的“学”是获得概念的定义，明确概念的价值，了解概念的背景等.教师需要将知识的来龙去脉划分为若干个学习的环节，安排学生学习.

学习的内容需要主题鲜明，层次清晰.如《平面向量及其应用》这一部分可以划分为平面向量的概念、运算、基本定理和应用.在每个维度又可以进一步划分，如向量的概念部分可以划分为概念的背景感知、概念的抽象过程和概念的定义、概念的模型化等，使学生能够依据鲜明的主线进行学习.

2.慎而不闭之“思”

“思”是形成数学思想、完善认知结构的过程.数学提供了思维合理的标准，学生的“思”主要依赖教师的“问”，要体会到数学思维的严密性特点，又要具有开放创新的特点，要能够“慎而不闭”.

“慎思”是数学学习中需要培养的基本素养，“慎”指“思”要有一定的思想方法规则.如数学教育中的情境是有目的、有计划的，围绕情境设置“思”可以体现知识的价值、体现对数学的认识和理解，形成数学思维方式.

知识的形成是感性认识上升到理性认识的过程，是思维的飞跃，设置问题引导学生将“感悟”用符号或文字描述，形成陈述性知识，是“思”的重要目的.如概念的抽象和命题的归纳都是知识的形成点，引导学生揭示对象的本质属性和规律是“思”的问题设置基础.学习的目的是为了更好的发展，“思”既要促进思维发展，又要引导品格发展.

3.笃而不罔之“行”

数学是思维方式且是行为方式，陆游在其《冬夜读书示子聿》中的两句“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”是诗人学习经验的总结.徐光启在《几何原本杂议》中指出：“此书为益，能令学者祛其浮气，练其精心，学事者资其定法，发其巧思.故举世无一人不当学.”说明数学学习对人的行为的影响价值.数学学习应使人形成规范和明确的行为方式，“行”需要在错综复杂的环境中发现问题、揭示本质，需要清晰思维引领，要“笃而不罔”地进行思考.

“行”是对知识、技能、能力、个性品质等方面的整合，需要依据一定的“章法”，设置学习中的“行”需要围绕学习的重点，使学生通过“行”把握知识的精髓和本质.发现和提出问题、分析和解决问题都是“行”的主要目标.

数学的抽象性决定了数学学习需要克服困难，需要在学习难点处引导学生在“行”的过程中不断反思、猜想、论证，不断修改思路.教师要引导学生体现数学抽象和概括及一般化等数学思想方法在学生学习行为中的意义.

二.平面向量教学中的“学”“思”“行”

教材内容包括概念获得、运算(性质)探索、应用迁移等，是一个“学—思—行”的完整循环过程.教学要强调知识发生、发展过程的体验，发现问题、提出问题，并注重知识的再创造[2].

1.平面向量教学中的“学”

平面向量部分的“学”需要依据课程标准的要求和规定，要完成向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用等知识的学习.

平面向量的学习范围要适当“博”，如概念是一类事物共同的本质属性，概念的“学”需要在一定的情境中抽象概括本质属性，并用符号将其表示出来.平面向量的教学要让学生在了解数学源于生活的同时感悟数学一般化的必要.具体可以设置以下环节.

环节一：形成概念.通过实际“推、跑、移”等活动，学生体会力、速度、位移的存在，感悟到大小、方向的改变都会引起力、速度、位移的变化，从而抽象概括形成定义；

环节二：模型理想化.结合以往学习的知识可以将向量模型理想化为：与起点无关(规定).

“学”的内容要有主线，平面向量的概念来源于力、速度等物理量，知识建构也主要是依赖对这些物理量的理解，但又不等同于这些物理量.因而在知识发展处结合物理量的特点来抽象和概括是方法的主线.如向量基本定理中的“学”主要是掌握向量基本定理本身，会用坐标表示向量的加、减运算与数乘运算，以及用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个向量的夹角，会用坐标表示平面向量共线、垂直的条件，基础是定理本身的理解和探索.教学中将一个向量分解为两个向量和用两个不共线的向量表示一个向量，是向量的加法和数乘的综合运用.教学要体现三个特点：推广加法和数乘、分解向量、表示向量，可以设计以下环节.

环节一：复习向量加法法则和数乘法则，进一步理解向量之间可以建构联系.

环节二：引导学生回顾力的分解与合成并迁移和发现同一对角线对应的平行四边形有无数多个，从向量的视角看就是一个向量可以表示为多种形式向量的和，进一步引导学生理解平面向量基本定理.

环节三：借助向量的相关运算认识和理解向量的线性表示.进而特殊化为将平面内向量表示为以直角坐标系中两轴的正方向对应的单位向量为基底的线性组合，形成与坐标对应的表示.

2.平面向量教学中的“思”

“思”的目的是形成思想，建构联系，“思”需要围绕知识的发生和发展过程进行，通过思考揭示认识对象本质属性，需要形成思维方式.“思”需要教师提出问题进行引导，教师的提问要问在学生认知的困惑之处，问在学生的发展之处，学生通过思考问题产生思维飞跃.

“思”要关注思维方式.“思”与“学”相辅相成，要联系“学”来设计“思”的问题，要在“思”中感悟思维方式.如《平面向量及其应用》中的重要概念是向量概念本身，问题应该是向量产生的背景、向量模型的特点，于是可以提出以下问题.

问题一：通过对力、速度、位移等的分析而得到的，你有什么感悟？

问题二：两个向量相等大小相同、方向相反，为什么向量要规定与起点无关？

问题三：向量为什么既有几何表示又有代数表示？

通过“思”体会数学的重要推动力是实际，体会数学模型与实际的联系与区别，体会向量容大小(数)与方向(形)于一体的基本属性，感悟向量的数形结合桥梁的价值.理解数学研究的公理化思想，感悟概念建构中的抽象特点.

再如向量基本定理是向量与向量之间联系的途径之一，学生思考也要围绕“学”的三个关键点进行，可以提出以下问题.

问题一：如果将向量的加法看成是力的合成的一般化的话，那么力的分解又可以如何一般化？

问题二：向量的正交分解与其他分解的区别与联系是什么？

问题三：利用向量解决共线和垂直的问题的基本特点是什么，与其他解决方法的相同点和不同点是什么？

通过思考理解向量基本定理的价值，体会数学逆向思维价值，感悟一般到特殊的过程，对直角坐标系的数形转化运用具有更深刻的认识.

教学中的“思”应该围绕学生的困惑设置问题，如向量运算是学生遇到的新的问题，向量学习以前的运算只涉及“大小”，而向量运算还要涉及方向，如何解决这个问题，引导学生回到向量产生的源头去发现解决问题的思路，形成新的思考.如向量加法教学可以设置以下问题引导学生探索和思考.

问题一：向量的运算法则如何确定，力的合成给我们什么启示？

问题二：向量加法具有数与形的运算表示，我们可以得到什么启示？

通过问题的思考，感悟实际是数学研究最根本的源泉，当遇到难题时往往在实际中寻找“灵感”，通过思考不断创新，不断探索.

3.平面向量学习中的“行”

“行”是已有知识和思维的实践，也是新知识学习的源泉.学习中的“行”是检验“学”“思”的状况，“行”要围绕知识的重点和难点开展.

“行”需要围绕情境展开分析和发现问题的活动，要在提出问题的基础上展开“分析和解决问题”的活动，如向量概念学习中的“行”要围绕理解概念、掌握概念的背景并建构概念.可以安排以下活动.

活动一：通过实验感受力、位移、速度的存在，并结合“思”感悟三者的共性，用语言概括，形成概念并对概念模型化形成定义.

活动二：引导学生感悟实际问题中大小、方向同时考虑和只考虑大小之间的差异，并引导学生说一说自己的理解.

数学来源与实际但又是对实际的抽象，“行”就要引导学生体验抽象概括的过程.很多数学对象的发展依赖其“运算”的特点，如向量的数量积是向量的一种重要运算，学生面对问题时，往往是从向量数量积的定义出发进行问题解决[3]，但对运算法则的背景理解不深刻，为使学生理解数学法则的确定的背景，学习中的“行”可以设置以下环节.

活动一：通过分析和画图探索力的性质中可以迁移到数量积的部分.

活动二：讨论建构法则的途径.学生可以围绕如何建构乘法开展讨论，形成自己的观点.

学习过程中要从“行”中概括并把握数学研究的方法.如向量基本定理学习中的“行”.通过将同一向量表示为不同的线性组合，体会直角坐标系对向量线性表示的价值.平面向量基本定理有三种形式，可以从三个维度呈现,它的原型是共线定理，它的拓展是空间向量基本定理[4].

总之，教学中“学—思—行”三者具有不同的方法和层次，具有不同的目标.三者又相辅相成、互为前提、形成整体，相互依赖共同前行.每一节课有若干个循环，整个单元有若干个循环，教师要充分认识三者对提升学生素养的价值，在教学设计时关注三个方面的设计，将数学教学中的“学—思—行”看成一个整体进行思考，才能使学生得到全方位的发展，也才能更好地形成可持续发展的素养.