几类务必要掌握的排列组合问题

■河北省唐山市乐亭第一中学 何镕辛

排列组合问题不但联系实际,而且注重能力与应用的考查。它主要涉及化归与转化思想以及分类讨论思想,题型多样、思路灵活。下面通过实例介绍几种排列组合问题的解题策略,供大家参考。

一、相邻问题——捆绑法

此类问题就是将相邻的几个元素视为一个整体,把它看作一个元素进行排列,故称捆绑法。

例13个女生和5个男生排成一排,其中3个女生必须排在一起的不同排法有( )种。

A.2160 B.4320

C.1080 D.540

解析：因为3个女生要排在一起,所以将3个女生视为一人,与5个男生进行全排列,有A种不同排法。对于其中的每种排法,3个女生之间有A种不同排法,所以由分步计数原理可知,共有A·A=4320(种)不同排法。故选B。

二、不相邻问题——插空法

此类问题先排好没有限制条件的元素,再将指定的不相邻的元素插入它们的空隙及两端位置,故称插空法。

例2由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1与2不相邻的六位数,这样的六位数共有 个___。

解析：因为数字1与2不相邻,所以可用插空法解题。先排数字3,4,5,6,有A种不同排法,每种排法留出5个空位,再将1,2插入,有A种排法,所以由分步计数原理可知,共有A·A=480(个)不同的数。

三、带有限制条件问题——优先法

这是一类纯排列问题,当问题中有了特殊元素或特殊位置,应优先排好有限制条件的元素或位置,再考虑安排其他元素或位置。

例31名老师和4名同学排成一排照相留念,若老师不排在两端,则共有多少种不同的排法?

解法1：优先考虑特殊元素,先排老师,老师不排在两端,只能从剩下的3个位置选1个,有A种排法,然后4名同学站在另外4个位置,有A种不同排法,由分步计数原理可知,共有A·A=72(种)不同排法。

解法2：优先考虑特殊位置,先排两端,从4名同学中选2人排两端,有A种不同排法,再安排其余3个位置,有A种不同排法,由分步计数原理知,有A·A=72(种)不同排法。

四、“至多”或“至少”的问题——直接法或间接法

含“至多”或“至少”的排列组合问题常有两种解法：一种是直接法,即按题设条件分类,然后分类计算选法种数;另一种是间接法,即先不考虑限制条件计算选法种数,然后减去不合条件的选法种数。

例4某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的不同的选法有( )。

A.27种 B.48种

C.21种 D.24种

解法1：(直接法)分类解决,显然满足题意的选法有两类：一类是1名女生,1名男生,选法有C·C=21(种);另一类是2名女生,选法有C=3(种)。故至少有1名女生当选,有C·C+C=24(种)选法,选D。

解法2：(间接法)先不考虑限制条件,10名学生选2名代表的选法有C种,再去掉不合条件的,即2名代表全是男生的选法,有C种,故选法共有C-C=24(种)。

五、组排问题——先分组后排列法

不同元素的“排列”问题,有时比较容易混淆,作为排列问题,可以分两步来完成,先分组后排列,这样就对排列问题有更加明确的理解。

例5有不同的6本书分别分给甲、乙、丙3人。

(1)如果甲1本,乙2本,丙3本,共有多少种分法?

(2)如果一人1本,一人2本,一人3本,共有多少种分法?

(3)平均分成3堆,每堆2本,共有多少种分法?

(4)如果每人2本,共有多少种分法?

解析：(1)先对6本书进行分组,分成1本、2本、3本的三组,共有C×C×C=60(种)分法,再发给甲、乙、丙3人,只有1种分法,所以共有C×C×C=60(种)分法满足题意。

(2)先对6本书进行分组,分成1本、2本、3本的三组,共有C×C×C=60(种)分法,再发放给甲、乙、丙3人,有A种发放方式,所以共有C×C×C×A=60×6=360(种)分法。

(3)此题涉及不同元素的均分问题,例如把不同的2个元素,分成无明显标志的两堆,只有一种分法,即

(4)把6本不同的书均分给甲、乙、丙3人,先对6本不同的书平均分成三组,有种分法,然后发放给甲、乙、丙3人,有种分法,所以共有90(种)不同的分法。

例6把6个不同的小球放在编号为a,b,c的3个盒子里,要求每个盒子都不空,共有多少种不同的方法?

解析：此题可以看成是把6个小球分配到a,b,c3个盒子的分配问题,可以分两步来解决,先分组后发放。先把6个不同的小球分成三组,分组的方式有：①按个数1,2,3分组,有C×C×C种方法;②按个数2,2,2分组,有种方法;③按个数1,1,4分组,有种方法。然后放置在标号为a,b,c的3个盒子里,有A种方法。所以,共有540(种)不同的方法;

点评：对于不同元素的分配问题,可以利用分步计数原理,看成有两步才能完成,第一步是分组,第二步是发放。这样对排列组合中的分配问题就更加明确、更加容易理解,但在分组时,对于整体均分问题或内部均分问题,要注意它们的区别与联系。

六、相同元素的“分配”问题——隔板法

例7有10个三好学生名额,分配到高三年级的6个班,每班至少1个名额,共有多少种不同的分配方案?

解析：10个三好学生名额,可以看成是相同元素,分配到高三年级的6个班,其实是相同元素的分配问题,常用的方法是采用“隔板法”。6个班分10个名额,将10个名额并成一排,名额之间有9个空隙,将5个隔板插入9个空隙中,则每种插法对应一种方案,共有C=126(种)不同的分配方案。

练一练：

1.4个不同的小球放入4个不同的盒中,且恰有1个空盒的放法有多少种?

2.7个人站队排成一排,其中甲不能站排头,也不能站排尾,有多少种排法?

3.从集合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母与数字均不能重复),每排中字母O、Q和数字0至多只出现1个,则不同排法有多少种?

4.从五棱柱的10个顶点中选出5个顶点,最多可形成多少个不同的四棱锥?

参考答案：

1.144 。

3.8424。

4.170。