高考题怎么改编（八）——直线与圆篇

苏 玖

一、真题展现

（2018年全国三卷第6题）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x-2）2+y2=2上，则△APB面积的取值范围是（ ）

A．［2，6］ B．［4，8］

二、思维延伸

本题实质是考查点到直线的距离公式及圆的方程运用，给出三种不同的思路，其中几何直观法与动态观点，较简洁明了．如果改为点P在椭圆上运动，又会有什么样的结果呢？

（改编1）在平面直角坐标系x Oy中，已知直线x+y+4=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在椭圆上，则△APB面积的取值范围是______．

如果把椭圆的方程换为抛物线的方程，又可以改编为：

（改编2）在平面直角坐标系x Oy中，已知直线x-y+2=0分别与x轴，y轴交于点A，B，动点P在抛物线y2=x上运动，则△PAB的面积的取值范围为______．

如果再改变曲线形状可以改编为：

（改编3）在平面直角坐标系x Oy中，已知直线l：3x+4y+12=0分别与x轴，y轴交于点A，B，动点P在曲线2|x-2|+|y-1|=2所围成的平面区域Ω（包含边界）上运动，则△PAB的面积的取值范围为______．

上述三道改编题都是直线与两坐标轴交点间的线段作为三角形的底边，如果将与两坐标轴的交点改为与圆，点P所在曲线再改变，又可以得到：

（改编4）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2x-y+4=0与圆（x+1）2+y2=4交于点A，B，动点P在曲线y=ln x上运动，则△PAB的面积的取值范围为______．

前面几道题中的曲线都是确定的，如果动点P所在曲线是变化的，又可以改编为：

但此时将△PAB的形状改为四边形，于是有：

（改编6）在平面直角坐标系x Oy中，已知倾斜角为60°的直线l过点且与圆O：x2+y2=9交于点A，C，圆O上的动点B，D分布在直线l的两侧，求四边形ABCD面积的最大值．

如果直线l和点P都在变化，问题就可以改为：

（改编7）在平面直角坐标系x Oy中，已知AB是圆O：x2+y2=4的任意一条直径，动点P在圆C：（x-3）2+（y-4）2=1上运动，求△PAB面积S的最大值．

三、点拨解析

原题解析：思路一（三角代换法）设点点P到直线AB的距离为d=因此而AB=于是故选A．

思路二（几何直观）由于线段AB是定值，要求△APB面积的取值范围，只要求点P到直线AB的距离d的取值范围，圆心到直线的距离为由圆的几何直观图形知，d0-r≤d≤d0+r，即因此△APB面积的取值范围为［2，6］．

思路三（动态观点）作动直线l：x+y+t=0，使其与圆相切，于是有圆心到直线l的距离等于半径，即即t=0或t=-4，点P到直线AB的距离d介于两条切线分别与原直线之间的距离之间，即

改编1解析：由于曲线方程改变了，因此本题只能有两种较简洁且常规的思路，几何直观的方法还是较好的．

思路二（几何直观——平行线移动法），作动直线l：x+y+t=0，令其与椭圆相切，于是代入椭圆方程，化成关于x的一元二次方程4x2+6tx+3t2-3=0，判别式Δ=0，化简为t=±2．因此这两条切线l：x+y±2=0与原来直线的距离分别为所以△APB的取值范围是4≤S≤12．

改编2解析：思路一（函数观点）设点P（y2，y）（y∈R），因此点P到直线AB的距离于是所以△PAB的面积故△PAB的面积的取值范围为

思路二（几何直观——平行线移动法）作与已知直线平行的动直线l：x-y+t=0，令其与抛物线相切，将两个方程联立，化简为y2-y+t=0，令判别式Δ=0，得因此切线方程为由两条平行线之间距离公式得所以△PAB的面积的取值范围为

本题中点P的坐标可以用一个量表示，从而建立了关于纵坐标的二次函数，再利用配方法求出最小值，但无最大值，这是因为圆和椭圆都是封闭图形，而抛物线与双曲线都是开放型图形，本题y的取值范围是一切实数．

改编3解析：平面区域Ω是由菱形所围成的，如果建立函数关系式较复杂，但从几何直观出发，利用平行线移动法再结合线性规划进行求解则较简单．容易求出AB=5，而菱形的四条边所在直线是由曲线1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到的，于是四个顶点分别为E（1，1），F（2，-1），M（3，1），N（2，3）．作动直线m：3x+4y+t=0，当动直线m经过点E（1，1）和M（3，1）时，对应直线分别为m1：3x+4y-7=0和m2：3x+4y-13=0，它们与直线l的距离分别为因此，平面区域Ω上的点P到直线AB的距离d∈所以，三角形的面积S的取值范围是

本题中的点P的坐标的制约条件是不等式，因此建立函数比较困难．我们从图形结构上考虑，利用平行线移动法使问题更加简洁，这种解法依据两条平行线间距离公式，实质还是点到直线距离公式的应用．

改编4解析：先利用直线与圆的位置关系，求出圆心到直线的距离于是得弦AB的长为再求点P（x，ln x）到直线距离d0的最值，建立目标函数d0=设f（x）=2xln x+4，于是令f′（x）=0，得讨论可知，当时f（x）有最小值5+ln 2，所以故△PAB的面积

思路二（几何直观——平行线移动法）因为线段AB的长度为定值于是只要求点P到直线AB距离的取值范围即可．将直线l：2x-y+4=0平移到与曲线y=ln x相切时距离最短，此时面积有最小值，设切点为T（x0，y0），因此切线的斜率为f′（x0）=2，得即切点为所以点P到直线l的距离故△PAB的面积

改编5解析：先求出线段AB的长度为2，圆心C到直线l的距离为d0=点P到直线l距离d的取值范围为［d0-r，d0+r］，因此△PAB的面积的取值范围为［d0-r，d0+r］，所以且d0+解之得

本题应该注意圆心C与直线l是相离的，因此有隐含条件d0＞r，即所以应该检验才可以．如果直线l与圆有公共点，那么当点P取到公共点时，点P与AB就不能组成三角形，因此必须检验．

改编6解析：思路一：直线l的方程为求出弦长设B，D到直线l的距离分别为d1，d2，于是四边形ABCD的面积为只要求d1+d2的最大值即可．设圆上的点P（3cosθ，3sinθ）（代表B，D两点），点P到直线l的距离为d=当时，当时，因此（d1+d2）max=6，所以

思路二：利用几何直观可以看出d1+d2的最大值就是圆的直径，事实上，用平行线移动法，作与直线l平行的圆的切线m：y=圆心到直线m的距离为由相切知，即t=±2r，这样两条切线之间的距离为于是证明了d1+d2的最大值为2r．

本题思路一是函数思想与参数方法，利用三角函数的有界性，很快求出d1，d2的最大值；思路二从几何直观出发，利用数形结合思想证明了d1+d2的最大值为2r，即为圆的直径．

改编7解析：本题如果建立目标函数求解是很困难的一件事情，那么必须将求解问题策略转化为用几何直观的观点求解．由于AB=4，于是只要求点P到AB距离d的最大值即可．先固定点P，直径绕原点O旋转，过点P作直线AB的垂线，垂足为H，因此P H≤PO，即当PO⊥AB时，P H的最大值为PO，于是问题转化为求原点O到圆C上点的距离最大值．再利用几何直观可得PO≤CO+r，当且仅当点P是OC的延长线与圆C的交点时等号成立，所以（OC+r）=2×（5+1）=12，故Smax=12．

四、回顾悟道

这组高考改编题属于动态问题，改编的想法：一是改变三角形中部分或全部顶点的位置，使其由静态变为动态，如改编7；二是当一边确定，只要改变顶三个点（动点）所在曲线的形状，如改编1～4；三是改变结论，如改编5，由三角形的面积范围求曲线的方程；四是改变三角形的形状，如改编6，将三角形改为四边形等等，但重点考查学生的几何直观想象能力，充分利用数形结合思想求解，凸显数学核心素养中的数学抽象、直观想象、推理证明等．当目标函数困难时，应该学会如何思考，怎样改变求解思路等等．

五、小试牛刀

（2018年北京卷第7题）在平面直角坐标系x Oy中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x-my-2=0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

（改编1）___________________________．

（改编2）__________________________．

提示：改变点P所在的曲线方程，如圆改编为椭圆、菱形、正方形等；或者改变动直线方程，如动直线所经过的定点变为（1，2）；也可以已知d的最大值确定曲线方程，如圆变为待定的圆（半径待定），而已知最大值为4等．

答案与解析

原题：答 案故选C．

另法：数形结合法．点P是圆x2+y2=1上的动点，而动直线x-my-2=0过定点M（2，0），作PQ⊥直线l，垂足为Q，因此d≤OQ+r，而OQ≤OM，所以d≤OM+r=2+1=3．故选C．

（改编1）在平面直角坐标系x Oy中，记d为点P（r cosθ，r sinθ）（r＞0）到直线x-my+4=0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为6，则r的值为_________．

解析：由几何直观知，dmax=r+4，即6=r+4，因此r=2．

解析：点P在椭圆上，d =令因此再令于是（其中γ为锐角，且tanγ=2），所以