十年变迁：“倍的认识”教学思辨与重构

□ 方苏云

一、聚焦问题：十年前后“倍的认识”教学现象与困惑

（一）遇见的“倍的认识”的教学现象

笔者在区级公开教研活动中多次听“倍的认识”一课，教师的教学流程大致可概括成两类。

第一类：基于人教版现用教材的主题素材展开

探索新知素材来自现用的人教版教材的情境图：胡萝卜2根，红萝卜6根，白萝卜10根，通过逐步讨论三者间的几倍关系，初步理解“倍”的意义；通过改变物体数量来加深理解“倍”的意义。

第二类：基于人教版实验教材的主题素材展开

探索新知素材来自人教版实验教材的情境图：两种相同或不同物体比较，感受2个4是4的2倍，初步理解“倍”的意义，然后增加几倍数的份数，或减少一倍数的个数来进一步理解“倍”的意义。

笔者十年前用人教版实验教材上的“倍的认识”的教学流程。

笔者将教材的4个2改成3个2进行初步感知倍，然后进入多倍和1倍的理解，运用线段图等找“几倍”，随机渗透“几倍多几或少几”，最后延伸到倍的应用。

（二）对比十年前后“倍的认识”教学及困惑

面对上述十年前后的课堂教学流程的极其“相似性”，笔者困惑了。

1.十年前后课堂学习材料的来源基本来自“教师”，是否可以改变

十年前后的课堂教学中绝大部分学习材料来自“教师”的事先预设，只在“多倍”理解中有少数材料来自“学生”。十年前后材料的情境外衣发生了变化，但实质是“几个多少”，即“多少的几倍”，那么我们是否可将这个“干货”回归到更简单质朴的数学情境中，让学生参与“创造”知识的过程，在创造知识的过程中又创造学习材料，让学习真实发生。

2.十年前后学习方式依然不变，能否可以转变

十年前后的“倍的认识”学习方式基本不变：都是在教师的启发下理解“几个多少”就是“多少的几倍”。在新一轮课程改革中，我们能否尊重学生的思维差异，创设“生生互动、生生互利”的学习环境，让学生获得更大的自由表达和展示机会，让不同的学生都有任务可做，发生真正意义上的“自主学习、探究学习”，在充分动手操作中积累基本活动经验，提升学生的学习能力。

二、聚焦教材变迁：十年之前和十年之内的变与不变

带着困惑，揣着思辨，笔者又一次翻阅对比了十年前后的教材，以人教版教材为例。

（一）从教材的编排对比中看不变

【十年前教材】

【十年后教材】

从上述对比中可看出，“倍的认识”依然包括“倍的概念”“求一个数的几倍是多少”和“求一个数是另一个数的几倍”，在概念学习后进行解决问题的教学；倍概念教材都呈现三个量，一个量为“标准量”，其余两个量与“标准量”进行比较，从“几个多少”引出“多少的几倍”；在解决问题中教材都呈现示意图和线段图来帮助学生理解题意和探求方法的策略。

（二）从教材的编排对比中看变化

上表中可以清晰地看到，教材内容由比较零散到相对集中；形式由摆一摆的具体形象到圈一圈的更为抽象；策略由阶段性的过渡到系统性的逐步提升。倍的教学后移，同时集中教学关于“倍”的数学问题，教学更富逻辑性与结构性。

三、聚焦教学变迁：十年之前和十年之后重构的变与不变

面对上述教材变迁，十年后笔者再次实践“倍的认识”，在重构教学过程中思辨其中的“变与不变”。

（一）课堂教学依然不变的

1.学习支撑点的不变

综观“倍的认识”一课教材编排的位置，可以说学生学习“倍的认识”的支撑点不变。二、三年级的学生在过去数学学习中积累了很多数一数、比一比、圈一圈、画一画等活动经验，基本具有观察、比较、操作的能力。

“倍的认识”学习支撑点

2.教学内容基本不变

从教材的“变与不变”中，我们可以得到启发，本节课教学中依然借助“几个几”与“倍”的融会贯通，突出“倍”的本质——两个量的比较关系，强化概念辨析，深入意义理解。

（二）重构教学过程的变化

1.教学思路的变化

“倍的认识”教学后移，学生在乘除法的学习过程中，已有了“一份数”与“几份数”的经验积累及摆一摆、画一画的动手能力。更有一些学生已认识“倍”的含义，因此在十年后的教学重构中以此为切入点，能打开另一种教学思路。

【十年前教学思路】

【十年后教学思路】

从思路对比中可看出，十年后所设想的更注重学生动手操作实践的经验积累，充分利用图例“两次”来直观理解“2倍”，并建立“2倍”模型，同时延伸至简单乘除法的解决问题；再从“2倍”过渡到“多倍”，通过变式加深理解“标准量”的重要性；最后由“一题”拓展到“一类”强化理解倍的本质——两个量的比较关系，使知识结构化；再延伸至“倍数与因数”，使知识关联化，解题策略模型化。

2.学习材料的变化

一份好的学习材料是组织学生体验概念形成过程的重要载体。在十年前后实践中笔者所采用的学习材料的来源发生了变化。

【十年前的教学材料】

第一环节：初步认知倍的学习素材

第二环节：再次认知倍的学习素材

第三环节：巩固深化理解运用的学习材料

【十年后的教学素材】

第一环节：初步认识倍的学习素材

第二环节：表征内化倍的学习素材

第三环节：巩固深化倍的学习素材

从十年前后所呈现学习材料的对比中清晰地看出，十年前的教学材料绝大部分是教师“给的”，而十年后所用学习材料基本来自学生，尤其是新知探究学习过程中几乎所有的学习素材都由学生创作提供，教师选择学习材料的范围大大增加，也给教师调控的能力带来了极大的挑战！教师要快速参与学生间的学习，选择合适的学习材料促进学生对“倍”内涵的理解。而学生可根据自己的学习能力获得不同的学习体会和收获，有了更大的学习时空和创新机会，充分体现了学生的主体地位。

3.学习方式的变化

“倍”的概念对三年级学生来说还是比较抽象，有必要在实践操作中调动多种感官参与“创造”知识的过程。

【十年前的教与学方式】

【十年后的教与学方式】

二、三年级学生是以具体形象思维为主，他们对抽象概念本质的领悟，都必须以足够的直观材料和充分的实践经验为基础。对比上面表格及材料，我们不难发现，十年前给二年级学生上“倍的认识”时，只有在“再识倍”这个环节中放手让学生操作“摆一摆”多倍。除此以外的教学过程都是由教师“扶”着学生感知理解“倍的意义”，生生互动较少。而十年后在三年级学生学习“倍”时，整节课学生都处在“数一数、摆一摆、画一画，再画一画、做一做、分一分”的学习中，教师在重点、难点处介入学习，师生、生生互动比较多，学习方式呈现任务驱动化，让不同的学生在完成任务过程中有不同的体悟。

4.拓展演绎的变化

与十年前相比，笔者设置的练习更是在“创造”性的“做”中巩固新知，发展学生的学习能力。

【十年前的拓展方向】

在上面两幅图中找倍数关系，根据学生回答的情况来确定是否拓展“几倍多几”（少几）”；根据课堂剩余时间的多少来确定拓展的量，如剩余时间多则拓展下面的解决问题，再延伸出线段图的解题策略。

【十年后的拓展方向】

利用“一行”圆，涂出“几倍”，延伸至总量中“部分量”间的比较，丰富倍的内涵；且答案多元，让学生进一步感受“标准量”的重要性，不同的学生积累不同的活动经验。让学生体验到有序思考的思想及解题策略。

在前一题的影响下，学生在做左图时会进行有序思考，在追问中教师整理△的个数如右图，学生体会到△既可以是标准量，也可以是比较量，再次内化“标准量”的聚焦地位，从这“一题”演绎成“一类”题，再次突破“倍”的本质。最后，通过分类“△少于○的，△与○相同的，△大于○的”，深刻体会“△与○相同”1倍关系的特殊性；从而渗透“因数和倍数”的概念，理解6的因数是有限的、6的倍数是无限的等相关知识，以探寻概念之间关联性的思维路径。

四、思考提升：“倍”概念教学的一般策略

回顾十年“磨”一课的经历，笔者通过聚焦教材、教学的变与不变，也觅得了“倍”概念教学策略的变与不变。

（一）“倍”概念教学的不变策略

1.将“倍”的概念置于现实背景中去感悟和理解

数学概念是抽象的、严谨的、系统的，要给学生提供动态的、丰富的、全面的感知材料，去充实学生的感性材料。

2.“倍”概念的建构需要经历多次反复

建构主义教学观认为，概念的建构需要经过多次反复，经历“建构—解构—重构”的过程。

3.注重“倍”概念的巩固运用

概念教学一般应遵循“从生活中来—抽象成数学模型—到生活中去”的过程，强调从学生已有的生活经验出发，寻找“倍”概念的纵向或横向联系，形成概念系统，使教材中的数学知识转化成为学生头脑中的认识结构。

（二）“倍”概念教学的重构实现学习策略的转变

1.学习材料从“教师提供”走向学生的“创作”

在教学中教师习惯性地给学生提供一些丰富的素材，帮助学生理解概念内涵。但我们可以看到十年前教师给学生提供的学习材料（见图1），十年后学生也能创作出类似的素材（见图2），提供给全班学习，并且能结合自己的动手操作经验进行解释，感知“2倍”就是这样的“2份”。

图1

图2

2.学习方式从“指令操作”走向“问题引领，任务驱动”

十年前的“倍”通过动画的演示、动态的呈现，注重理解“（）是（）的几倍”，强调谁与谁比，是碎片化指令性极强的学习方式。十年后，笔者尝试用“你觉得2倍关系是怎样的？”“你觉得2倍关系可以怎么表示呢？尝试着摆一摆、画一画。”“你要研究几倍，打算怎么画？”随着这三个大问题的展开，以“2倍”为起点与突破口，建立“2倍”模型，再走向“多倍”的理解，很自然地让学生在任务驱动下逐步感知、深入理解概念的内涵，把握“倍”概念的本质。