数学实验：导向学生的隐性知识增长

□ 罗永军

一、隐性知识值得重视

英国的《金融时报》是一家创办于1888年的世界著名的金融媒体，以报道权威的全球财经新闻、分析以及评论著称。2017年12月12日，在迎来创刊130周年的前夕，却刊登了一篇和金融经济似乎无关的文章，标题是《在这个智能时代，教育应该如何变革才能顺应潮流：学校应该教什么，不该教什么》。探讨教育的文章上了经济类的权威媒体的现象并不多见，也因此引发了广泛讨论(中国的各大媒体也同时转载报道)。作者是当今颇有影响力的社会企业家欧文（Jo Owen）。他说，为了应对未来人工智能技术的挑战，目前的学校教育应该调整方向，“教育体系培养出的人比二流电脑强不了多少，因此，如果教育的重点继续放在把显性知识传递给下一代上，我们就有麻烦了”。他的意思是说，人与机器去争机器的特长毫无必要。因为在知识系统中那些事实清楚、规则明确的显性知识，就算是步骤复杂、结果多样到天文数字的领域，如国际象棋、围棋、数学推理证明等，机器都能快速给出结果。所以，他认为，学校教育应该转向：“教育的标准，不应该继续衡量学校多擅长去传授显性知识和事实技能，而应该转向隐性知识，比如如何处理不确定性。”教育是经济繁荣、社会进步的基础，欧文提出了一个应对未来发展的建议被刊登在经济类权威媒体上，看似意料之外其实也在情理之中。

隐性知识存在于个人头脑中，难以清晰表达，包括信念、经验、思维、直觉、灵感等。其本质上是一种理解力,是一种领会,是一种把握经验或重组经验,以期实现对事物理解控制的能力。作为国家学科教学的基本规范和质量要求在要求我们重视基本知识和基本技能之外，还要重视思想方法和基本活动经验。事实上，这可以看作是国家课程标准对隐性知识的教学要求。如何促进隐性知识的发展？波兰尼（1958年提出隐性知识概念）提出了“识知”的观点，即需要个人在自己实践和自我建构的过程中才能形成和发展隐性知识。

二、数学实验着力增长学生的隐性知识

数学实验可以有效地发展学生的隐性知识。对此，我们尝试着从一年级起开设了每周1节的数学拓展性课程——数学实验，课程的主要目标是瞄准隐性知识的三个方面：数学经验与信念、数学思维与直觉、数学灵感和创造。即以发展学生数学隐性知识为目标，让学生在数学实验中亲历数学的发现与研究，积累实践经验，发展学生的好奇心和探究欲，促进高层次思维能力的发展，为他们终身的学习和生活打好基础。

进一步地，数学实验教学的三个显著特征高度契合学生的隐性知识发展。

（一）数学实验活动具有的具身认知特点，让学生生成更多的实践感悟

隐性知识因其“只可意会，无法言传”的特征，所以从本质上看，其获得机制是实践体验，这正是数学实验的基本活动形式。特别地，根据学生特点，我们把单纯依靠纸笔的演算实验、单纯依靠想象的思想实验排除在外，因此，我们所设计的数学实验都是要有具体的实验材料，要能实际操作（可视性）。从认知神经科学来说，要让学生获得丰富而又深刻的体验，就需要以手为基础的多感官协同，这样的认知方式，是一种“具身认知”，即以生理体验激活心理体验的认知方式。比如在图形认识的学习中，最重要的是图形之间的“关系”，如图形之间是如何拼合的，是先按边拼合还是先拼角？用同一个三角形去和其他图形拼，能拼出哪些图形？把两个图形重叠在一起，如把一个三角形和一个正方形重叠在一起，重叠部分会是什么图形？等等。这些图形之间的形状关系、位置关系、面积关系、周长关系、拓扑关系等是隐性知识，重要但又难以一言蔽之。因此，与其费尽心力“传道”，不如让学生用手拼摆图形，用眼观察图形，用脑想象图形，进行触觉、视觉、思维的有机整合，从而对图形关系形成自己的理解，自己悟得“道理”。

以“超级七巧板”[1]为例，我们对传统的七巧板（4种形状）进行了调整，保留了七巧板的性状(任意两个图形之间至少有一条边或一个角相等)，替换为7种不同类型的图形（图1）。学生利用材料可以做各种学习任务，通常这样的课堂约有70%的时间是学生自己的操作与感悟，20%是学生分享与交流时间，10%的时间是教师组织课堂教学点拨学生。学生花在数学实验上的大部分时间是自己在具身认知，而不是用在理解教师的语言上。在这样的课堂上有一个明显的特征，就是不断地能听到学生说：噢，原来是这样呀!啊，这样也可以拼呀？怎么会这样呢？哈，我又拼出了一个……虽然我们不知道学生具体在说什么，但感受到学生在实验中得到感悟的兴奋心情。在整个实验过程中，教师主要负责鼓励学生或者帮助学生出主意，然后组织学生分享感悟（图2）。教师不需要去传授知识，而要让学生在实验过程中通过操作、观察、思考、辩论、体验从而达到逐渐自我领悟，建构起属于个人的知识。

图1

图2

（二）数学实验材料是生成性资源，易于学生形成个性化的见解

数学实验材料往往能一物多用，像上文中的“超级七巧板”，除了用来“拼图形”之外，还可以用来研究“分类”“密铺”等。可以就同一实验材料展开不同的课题探究，是一种生成性的学习资源。相同的材料因为材质不同也会产生新的玩法。与“超级七巧板”类似，我们还常用一种透明材质的彩色图形片（见图3）。因为透明，所以学生可以很方便地进行图形的重叠比较，从而多角度地进行实验探究。我们利用“透明图形片”，曾在上海、重庆等地多次上过展示课。在上课伊始都提了一个相同的问题“从这些彩色图形片中，我们可以找到哪些数学问题？”学生提出的问题即是实验的内容。比如：

图3

（1）重叠（见图4）：哪两个图形叠在一起，它们的重叠面积会最大？3个图形、4个图形……叠在一起呢？

图4

（2）分类：这些图形可以分为哪几类？按颜色分、按大小分、按边分、按角分等。

（3）面积关系（见图5）：哪些图形的面积是相等的？哪些图形之间可用“+-×÷”和“＝”来连接？

图5

（4）边和角（见图6）：梯形的内角和是多少？六边形的内角和是多少？

图6

……

在教学时，学生可以就自己感兴趣的内容进行分组实验，分享交流时也是在自己组内进行进行，不需要全班学生一起听。学生做实验的方法各有千秋，如选择探究面积关系的小组，学生有的用覆盖法，因为透明片可以上下重叠摆放；有的用方格纸作测量工具，把透明片放在方格纸上，用方格测量；有的学生居然提出要用电子秤来找图形关系，理由是这些图形片虽然颜色不一样，但是厚度相同（材料也相同），所以图形面积越大重量也会越重，图形之间的面积关系可以用重量关系来代换。事实上，学生已经在不知不觉地进行类比推理了，这正是创造性思维的重要来源。

“透明图形片”适合三年级以上的学生，可以连续上3个课时，每一课时完成1～2个实验，学生有机会从不同视角来看待同一种材料。在教学中，除第一次需要教师引导全班学生提出数学问题外，其余的时间都宜放手让学生自己做实验，必要时提供额外的实验工具（如微型电子秤），然后组织学生写下实验报告和交流汇报。

（三）数学实验任务引人入胜，能使学生产生积极的学习动力

图7

物理或化学实验常需要凭借重复实验得到相同结果的方式来验证。与它们不同的是，数学实验不需要承担数学证明的“重任”。这是因为数学是纯粹抽象的产物，是靠定义和逻辑来建构的，不需要凭借重复实验得到相同结果的方式来验证。如果把数学实验作为验证定理的方法，反而使学生产生获得两三次的实验结果就能得出一般规律有时是错觉。所以我们在设计时会特意避开验证型实验，如三角形内角和是180度等课本上已有的数学公式和定律。我们会把实验任务设计成看上去结果不显然或者是结果让人意外，让学生感到神奇有趣，在任务完成过程中潜移默化传递着数学好玩又能玩好的信念。像上例的“超级七巧板”我们设计了2个有趣的任务，提供“透明图形片”则是向学生提出实验任务。另外，我们还设计了系列“不可能的任务”以进一步激发学生的好奇心和探究欲，如“透视骰子”（见图7）。把5个骰子叠在一起时，有些面能看到，有些面看不到，那些所有看不见的面（9个面）上的点子和是多少呢？有的学生说，这很简单呀：一颗骰子六个面，面上的数字和是1+2+3+4+5+6=21,现在有5颗骰子，点子总数是105，减去那些能直接看到的点子数（能看到21个面），就是隐蔽着的点子总和。用这样的方法当然算得出来，但如果有更多的骰子叠在一起呢？比如10颗骰子，能直接看到的是41个面，按上面的方法，用总和210去减一连串41个数，这个方法虽然可行但计算实在是太繁琐了。不过，对于具有“透视眼”的人来说，不是一个问题，这双眼能看到一切隐藏的东西。就是那么巧，教师正好一眼就看穿了叠在一起的所有数字，知道它们的和是“34”。（读者不妨用骰子叠起来自行检验一下）学生非常好奇，老师真的具有“透视眼”吗，还是另有玄机？在将信将疑中，学生开始了探究。这是一个“模式与关系”的数学实验，刚开始时，不少学生拿着5颗骰子翻来覆去地打量。经验告诉他们，老师就是一个普通人，不可能真有“透视眼”，一定有什么奥妙在其中。好奇心激发着学生一定要破解这个谜团！数学实验是数学发现和数学猜想的源泉，更是一个体验平台。通过挑战不确定性，学生能在其中体验到数学发现的乐趣，进而转化为数学学习的内在动力。

三、增长隐性知识的实验教学策略

在数学实验课上，学生是在新的情境、实验材料下进行推断、创新并且运用，成长的是思维、信念、好奇心等属于个人的隐性知识。因此，教师在课堂中不需要多引导，也不需要特别的课堂教学艺术，学生巴不得教师少讲话，自己早点动手。事实上，学生往往还能玩出更多新花样，常常令教师自叹不如。在实验课上，教师也不用过多判断结果对不对，这由实验结果说了算。因此，对于数学实验课我们主要采用两条原则性的教学策略。

（一）让实验材料能够吸引学生多样体验

数学实验材料来源广泛，大致有三类：①传统学具。如七巧板、十四巧板、积木块、图形片等可以百搭百拼的学具，有较大的创作空间能创造出多种玩法，任何学生都能玩，想象力强的学生能玩得更好；②益智玩具。如九连环、华容道、魔方、魔球、迷宫拼图等，这类益智玩具自带玩法，有一定的挑战性，结果具有明确的反馈，完成任务的学生有很强的自豪感；③自研学具。前两种都是成品学具，我们还自制或改制了一些学具。比如磁性积木，改变了传统的立方体只能单一地从下往上堆叠的惯例，磁性积木能使各种空间造型成为现实，极大地激发了学生的空间思维和创造力；数字天平，改变了只能用一种挂片摆位的局限，改进后有3种不同质量的挂片，便于学生做更多有趣的推理实验；等等。

（二）让实验任务能够促进学生深入感悟

数学实验任务的设计不仅要让学生觉得好玩，更要让学生能玩出名堂。也就是说，只有结合数学内涵来设计任务才能让学生在体验中得到感悟。为此，我们参照数学课标，把数学实验分为5个模块：数量与运算、模式与关系、图形与测量、拓扑与变换、统计与概率（表1），再找出知识点之间的联结与影响，即“关系”，如数量关系、图形关系、拓扑关系、数据关系等作为结合点。数学内涵中的“概念”和“关系”都非常重要，我们之所以选择“关系”，是因为“概念”更适合日常教学，“关系”则难以言尽，更适合个人在数学活动的体验中领悟，是典型的隐性知识。数学课标中数感、空间观念、统计观念、概率意识等都是隐性知识，适合在数学实验中积累经验和深入感悟。

表1《新思维数学实验》第4册

数学实验课实施至今，我们已取得了一定成果，但还有一些问题需要进一步研究，最主要的有两个，一是如何处理显性知识与隐性知识的关系？具体地说，要不要加入知识点的学习？二是以隐性知识为目标的教学，教师如何发挥作用？数学实验课已在国内不少学校实施，课程目标不尽相同，我们以发展隐性知识为靶向，只是其中的一个案例，也期待能得到更多同行的指导。大家一起来研究，让数学实验不再只是甜点，更成为一道主菜。