依托数学思想 构建教学主线——以“勾股定理的简单应用”教学设计为例

吴小兵

（江苏省南通市崇川区教师发展中心）

一、问题的提出

教学主线是教师整节课或整个单元、章节谋篇布局的某种思路，是师生的言语和实践活动与一系列相关因素互动交融后所历经的一条轨迹.作为课堂教学中各个教学点连续互动、有效交融后构建起来的教学形态，教学主线应能够体现出课堂整体结构的清晰程度.其中，有的可以依据明确的核心知识架构，有的需要按照学生的能力发展层次建立，还有的则可能是要兼顾多种因素生成，等等.从性质上看，教学主线必然是一个有目的、有计划的，师生之间、生生之间、师生与各类教学资源之间的多边对话的过程，富有综合性与实践性，决定着课堂教学活动的方向和有效性.

初中数学教材体系一般具有两条基本线索：一条是数学知识，这是明线；另一条是数学思想方法，这是蕴含在教材编排中的暗线.在教材中，从数学概念的引入、应用，到例、习题的设计和解答，随处可见数学知识这条明线，也时刻能体会到数学思想方法这条暗线.因而在教学设计中，除了要设计好知识教学，更要注意挖掘其中蕴涵的数学思想与方法，使其能成为贯穿教学的主线.

二、依托数学思想，构建教学主线

笔者以苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册“勾股定理的简单应用”为例，谈谈如何基于数学思想方法来构建教学主线.

1.教学目标明晰定位

（1）通过“直接使用、找、构、证”直角三角形这一知识方法主线，经历运用勾股定理及其逆定理解决简单实际问题的过程.

（2）在运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的过程中，感悟数学的建模思想、方程思想、转化思想等，体会课堂的整体结构和层次，增强应用模型意识.

教学重点：能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题.

教学难点：通过“直接使用、找、构、证”直角三角形，感受数学的转化思想，体会明晰的课堂主线.

2.教学进程流畅展开

（1）新课引入.

从南通来到美丽的常熟，途中经过长江上一座大桥——苏通大桥.如图1，苏通大桥是一座斜拉桥，从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形.

图1

问题：如图2，若已知桥面上索塔的高AB，桥面上的各段距离均可测量，想计算拉索AC的长，怎么解决呢？

图2

【设计意图】笔者由南通赶往常熟，正好经过学生熟悉的苏通大桥，以此作为新课引入点，既与本节课的关键基本图形——直角三角形相契合，又揭示了本节课将重点研究的是勾股定理的简单应用，为开启后续流程做了比较好的铺垫.

（2）温故探新.

在直角三角形中，利用勾股定理，已知任意两边的长均可以求出第三边.

利用勾股定理的逆定理，知道三角形三边的长度可以判定其是否为直角三角形.

温故练习：

① 在△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=24，则AB=_____.

② 在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=17，则BC=______.

③在△ABC中，AC=24，BC=26，AB=10，则△ABC是直角三角形吗？

④在△ABC中，AC=6，BC=12，AB=13，则△ABC是直角三角形吗？

此环节要求学生直接说出答案.

【设计意图】引入新课后，教师直接指出勾股定理及其逆定理的主要作用，并以四道题予以强化.其中第①②题是针对定理的直接应用，设置了已知直角三角形的两边求第三边的题目，潜移默化中培养了学生建立“知二求一”（即已知直角三角形的两边长，直接求第三边长）模型的意识，而第③④题则配合前面两道题巩固勾股定理逆定理.这一环节是建立课堂教学主线的第一步，即让学生做好知识上的储备，为之后在直角三角形中利用勾股定理解决问题做铺垫.

（3）问题引申.

引申1：在直角三角形中，已知一直角边长为3，另一直角边与斜边之和为9，求另一直角边的长.

此题是否也可以“知二求一”呢？学生可以借助方程解决问题.

【设计意图】通过引申1，既概括出勾股定理的最基本应用，即显性的“知二求一”，又引发隐性的“知二求一”（即已知直角三角形一边长及另外两边之和，求另外两边长）；既让学生初步形成解题模型意识，又自然产生借助方程解决问题的内在需求，为方程思想的运用做好铺垫，也为接下来例1的研究做好思想和技术上的准备.

例1《九章算术》中有一道“折竹”问题：如图3，今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？

图3

题意是：有一根竖直生长的竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？

师生共同分析并解决此题.

【设计意图】例1的解决基本思路是由实际情境抽象、提炼出几何图形，即“寻找”到直角三角形（如图4），然后运用类似于解决引申1的方法来解决，体现模型意识，渗透方程思想.而对于原题中的文言文叙述，既让学生感受到传统数学文化的魅力，又可以很快给出题意解释，不给学生设置语言障碍，还其数学思维的本位要求.这一环节是建立课堂教学主线的第二步，即需要“寻找”直角三角形，再借助勾股定理解决问题.

图4

图5

探讨1：如图5，在△ABD中，∠D=90°，C为边BD上一点，AB=15，AC=13，BC=4，求CD的长.

此题让学生先独立思考，再在小组内讨论、解惑.请两个小组各推选一位代表展示他们的交流成果.

【设计意图】图形中出现不只一个直角三角形，又该如何利用它们之间的相互联系解决问题呢？显然，这是“寻找”直角三角形的一种拓展，仍需利用勾股定理，借助方程来解决.这一环节也可以看作是进一步巩固教学主线中的“寻找”直角三角形.

探讨2：如图6，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.

图6

【设计意图】此题中既没有出现直角三角形，又没有直接给出直角，但是由已知三角形的三边长，可考虑作出相关垂线段来构造直角三角形，再利用方程思想求解，即“化斜为直”，将斜三角形问题转化为直接三角形问题来求解，从而让学生自然体会到转化思想运用的必要性.显然，这一环节是建立教学主线的第三步，即构造直角三角形来解决问题.

引申2：在刚才的一系列问题中，一类是直接利用“寻找”到的直角三角形求解；一类是通过作辅助线构造直角三角形求解.而若给了三角形有关边的大小，但未明确其形状，我们又该怎么办呢？

温故练习第③④题是利用勾股定理的逆定理，通过三边的长度来判定三角形是不是直角三角形，这里的“边”也可以是三角形中的某些特殊线段，如三角形的高线、中线、角平分线等.

例2 如图7，在△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC的长.

图7

【设计意图】例2是应用勾股定理的逆定理来求解，题目中虽没有直接给出直角三角形，但可以根据相关边长证明有关三角形是直角三角形，即通过推理论证获得直角三角形.这一环节是建立教学主线的第四步，即通过证明直角三角形来解决问题.

探讨3：在一些比较特殊的多边形问题中，是否也可通过勾股定理及其逆定理求解呢？

某学校有一块如图8所示的四边形草坪，AB=3 m，BC=4 m，CD=12 m，AD=13 m，且AB⊥BC.你能求出草坪ABCD的面积吗？

图8

【设计意图】此题是勾股定理及其逆定理的双重应用，通过作辅助线构造直角三角形，再推理证论出直角三角形，将四边形问题转化为直角三角形问题来求解，体现转化思想.

（4）巩固练习.

练习1：在如图9所示的一块四边形空地ABCD中，AD=12 m，CD=9 m，AB=39 m，BC=36 m，且∠ADC=90°.求这块空地ABCD的面积.

图9

图10

练习2：如图10，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=25，BC=15，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E.求AE，EC的长.

【设计意图】巩固练习既是对前述教学内容的延续，又是对本节课重、难点的集中再现，同时也可以以此获取一定的教学效果的反馈.

（5）反思提升.

①勾股定理仅适用于直角三角形中.

②运用勾股定理时要分清斜边和直角边，并注意公式的变形，因而在直角三角形中，已知两边可以求出第三边.

③勾股定理应用的三个层次：给出直角三角形，运用勾股定理并借助方程等方式解决问题；没有直接出现直角三角形，可根据需要通过添加辅助线设法构造直角三角形；根据给出的条件，借助勾股定理的逆定理判定所给三角形为直角三角形.

【设计意图】师生共同回顾交流本节课的主要内容，有利于学生进一步领会本节课的知识和能力要求，理清本节课的研究重点与关键点，进一步凸显方程、转化、归纳等数学思想方法的应用价值，积累数学活动经验．

板书设计：略.

【设计意图】板书的设计与呈现可以使课堂教学主线进一步明晰化，其逐步完备过程也就是本节课知识与能力要求体现的可视化过程.

三、教学反思

1.从整合教材的高度定位一节课的主要数学思想和教学主线

在教学设计中，笔者试图从数与形两个角度把握本节课的核心和主线，数即“知二求一”，包括显性和隐性两个层次，隐性的“知二求一”主要借助方程这一工具来辅助解决；形即紧紧抓住直角三角形这一基本图形，直角三角形可以直接给出，可以通过作辅助线来构造，还可以利用勾股定理逆定理推理论证判断出来.这样本节课的知识脉络和能力要求一目了然，教学主线逐步明晰.

而在平时教学中，教师要对教材进行深度解读、体悟和重组，深刻挖掘知识间的内在联系，理解蕴涵其中的数学思想方法，巧妙构思，高屋建瓴.预设课堂主线是以核心知识为纽带，还是以能力立意为出发点.当然，更多的情况下是两种思路的有机结合.

2.让学生能从课堂进程中真切感受到数学思想和教学主线

数学是抽象的科学，但学生从数学课堂得到的感受却应该是真切的、实实在在的.在本节课中，笔者认为学生应该从以下三个方面得到真切的感受：（1）感受数学文化，不设置语言障碍，特别是《九章算术》中的“折竹”问题；（2）感受数学模型，突出思想方法，主要是在解决问题过程中借助方程思想、转化思想和建模思想等；（3）感受建构图形，回归基本策略，即通过“直接使用、找、构、证”这样一条主线，回归到最基本的直角三角形中，运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.

一般而言，教师要成功构建课堂教学主线，应在领会数学知识本身、熟悉学生最近发展区的基础上预设好课堂教学环节和教学线索，设置具有逻辑关联性的问题链.在具体课堂进程中，要特别重视依托结构化的板书、层次化的练习题组、板块化的活动体验、条理化的课堂小结等，让学生逐步感受到主线的建构过程.

3.数学课堂教学进程与教学主线过渡点的衔接应自然流畅、浑然一体

数学课堂教学不应是生硬的、割裂的，而应是有条不紊、过渡自然、环环相扣的，如此才更有利于学生渐入佳境，将课堂内容串成知识链，形成思维网，内化为认知结构.教师要注重教学环节过渡点的抓准、关键词的点拨，尽可能做到语言精炼，引领得当，让学生体会到各环节之间的梯度和提升度，同时放手给学生独立思考的时间、小组探讨的空间和在全班交流汇报的机会.数学本身具有较高的抽象性，很多情况下学生对主线的把握并不是一蹴而就的.因而，教师还应通过多种激励手段，强化学生对主线的整体认识和把握.