在探究中提升能力 在活动中积累经验——一节数学活动课的教学改进与思考

谢俊峰

（江苏省扬州市田家炳实验中学）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“双基”的基础上提出了“四基”，其中增加了数学的基本活动经验，并将基本活动经验视为更加上位的课程目标.苏科版《义务教育教科书·数学》中设计了多种形式的数学活动.例如，每个章节都设计了章前图、数学活动、课题学习、做一做、数学实验室等，其中章节开头的数学活动，主要是引导学生通过“做”感受数学；章节中间的数学活动，是引导学生通过“做”探索知识和结论；章节最后的数学活动，是引导学生通过“做”应用所学知识解决简单问题.这些活动的设计让学生通过数学实践操作感受和理解数学，或者自主探索可能发生的规律和结论，运用相关的结论解决某些问题，在活动过程中不断丰富学生的基本活动经验.

为了探索初中数学活动课教学实践经验和教学指导理论，结合笔者开设的一节数学活动课，谈谈对数学活动课设计的一些粗浅看法.本节课是苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“轴对称图形”之后的一节数学活动课“折纸与证明”.

一、教材设计，引起思考

教材上给出的活动设计如下.

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.

例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？

图1

图2

图3

把AC沿∠A的平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）；然后把纸展平，连接CC′，CC′在∠ACB的内部（如图3）.

于是，∠AC′B＞∠ACC′，∠ACC′=∠AC′C，∠AC′C＞∠B.

选用下面提供的活动材料，折纸并证明.

1.用一张正方形纸片折等边三角形.

（1）如图4，把正方形纸片ABCD对折后再展开，折痕为EF；

图4

图5

（2）如图5，将点A翻折到EF上的点A′处，且使折痕过点B；

（3）如图6，沿A′C折叠，得△A′BC（如图7）.

图6

图7

你能证明△A′BC是等边三角形吗？

2.用纸条折一个正五边形.

（1）把纸条打好一个结（如图8），再拉紧压平（如图9）；

图8

图9

（2）沿图10中的虚线剪开，就得五边形ABCDE（如图11）.

图10

图11

各边相等、各角相等的五边形是正五边形，你能证明五边形ABCDE是正五边形吗？

在阅读过教材上的活动设计后，笔者有以下几点思考.

第一，教材中此数学活动的重点是进行折纸后的证明，而不是折纸本身的过程，笔者认为学生折纸探究的过程更具有活动的价值和探索的意义.因此，在教学设计中可以考虑将活动的重点放在折纸的过程中，学生知道了“折”的过程，那么“证”的过程就非常自然了.

第二，折纸问题的本质是轴对称图形，这也是将数学活动放在“轴对称图形”这一章节之后的原因.教师应该注重建立折纸问题与轴对称图形的内在联系，让学生在操作的过程中主动感知，从中体现数学与生活的联系，体会数学来源于生活.

第三，学生在折出正五边形后，要自主探究出正五边形的证明过程，这对学生推理证明的要求较高.此证明需要添加多条辅助线，不符合学生现有的认知水平.

二、重新设计，突出操作

结合以上三点思考，笔者对本节活动课进行了二次设计并实施教学，试图帮助学生在折纸中提升能力，在活动过程中积累数学活动经验.

活动1：展示折纸作品.

师：小时候我们玩过折纸，同学们，请用你们手中的纸来折一折，你能折出什么来呢？

学生动手折叠.

师：你们折出了什么？

学生折出飞机、轮船、青蛙、衣服等.

师：同学们的手都非常巧，折出了很多有趣的作品，大部分同学折出的都是我们刚刚学过的一种图形，是什么？

生：轴对称图形.

师：非常好！现在把你们自己的作品展开、还原，大家看看由折痕组成的图形是什么图形？

生：仍然是轴对称图形.

师：看来，折纸与数学有着很深的联系，今天我们就来一起研究折纸中的数学.

教师书写课题.

【评析】折纸活动过程是一个充满想象力、创造力和手脑并用的过程.童年时，学生用他们稚气的双手把一张普通的纸折成飞机、轮船、动物等，现在再来折纸，学生会非常感兴趣.通过展开折纸作品，学生观察折痕所形成的图形，可以帮助学生建立折纸操作与数学内容的联系，并将数学寓于折纸之中，从折痕中能发现并揭示出几何的对象和性质等，如全等、轴对称等，初步感受折纸中所蕴含的数学知识，也深刻理解数学与生活的联系，既活跃了课堂气氛，又适时的引入了课题.

活动2：折正方形.

用长方形纸片折出正方形，说出折叠过程，并证明折出的四边形是正方形.

学生动手操作，很快都能折出如图12所示的正方形ABCD.

图12

师：四条边相等、四个角均为直角的四边形是正方形.你们折出来的是正方形吗？

学生纷纷拿出直尺和量角器测量.

师：眼睛看到的都是真的吗？因此，我们要进行推理与证明.

学生开始思考并证明.

【评析】绝大多数的折纸作品都是先从折正方形开始的，折正方形也是最简单的折纸，活动2体现了从简单到复杂的过程.学生很快就能用长方形纸片折叠出正方形，通过看一看、量一量，学生也能猜想到这是一个正方形.但让学生来进行说理时，他们首先感到有一定的困难，经过思考后，又能很快给出证明.在这个过程中，突出了学生的主体性，让学生感受到合情推理与演绎推理的相铺相成.在几何证明中，让学生感知折叠问题的本质是轴对称问题，通过轴对称的性质来解决实际问题.

活动3：折等边三角形.

用活动2中得到的正方形纸片，你能折出等边三角形吗？小组合作探究，说出折叠过程，并证明折出的三角形是等边三角形.

学生独自折叠，但不少学生遇到了困难.教师适时引导.

师：大家想想如果以图12中正方形的边作为等边三角形的边，猜想一下第三个顶点位置在哪里呢？

生1：在AB的上方，在中间.

师：谁能够说得更准确，并用数学语言描述出来？

生2：在AB的垂直平分线上.

师：我们要折出等边三角形，需要知道等边三角形的判定定理，有哪些呢？

生3：三条边相等的三角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形，有一个角等于60°的三角形是等边三角形.

师：依据判定定理，很显然我们应该从边和角上面去考虑，去折叠，大家小组讨论折叠方法.

很快各小组就有了下面的折叠方法.

方法1：如图13所示.

（1）将正方形ABCD对折，得到折痕MN.

（2）将边AB向上翻折，使得点B落在折痕MN上，再折叠得到折痕AE.

（3）过B，E两点折叠，得到折痕BE.

△ABE即为所求的等边三角形.

图13

图14

方法2：如图14所示.

（1）将正方形ABCD对折，得到折痕MN.

（2）将边AD向中间翻折，使得点D落在折痕MN上，再折叠得到折痕AE.

（3）过B，E两点折叠，得到折痕BE.

△ABE即为所求的等边三角形.

对于方法2，学生的证明过程如下.

证明：在正方形ABCD中，AB=AD.

因为边AD向中间翻折得到AE，

所以AD=AE.

因为将正方形ABCD对折，得到折痕MN，

所以MN垂直平分AB.

所以AE=BE.

所以AB=AE=BE.

所以△ABE是等边三角形.

师：通过刚才的操作过程，我们可以发现在折叠之前要先思考再操作，不要盲目的去做.折叠过等边三角形、正方形，我们还可以折出正五边形，大家课后进一步去思考折叠的方法，并进行验证.

【评析】在正方形的基础上来折叠等边三角形，其难度有一定增加.学生在折叠、操作过程中遇到了困难，通过教师的引导，分析出等边三角形顶点的位置，以及等边三角形的性质，再让学生进行操作，这样折叠更有针对性.学生折叠思考的过程，实际上也是分析证明的过程，有了折的经验，证的过程就显得非常自然了.在证明过程中让学生再次感受折叠问题的本质是轴对称，并通过轴对称的性质来解决实际问题.这样一个思考、分析、纠错、操作、验证的过程，对于学生活动经验的获得是非常有价值的，既体现了学生主体性，又体现了方法的多样性.

图15

活动4：折纸方法的应用.

如图15，在△ABC中，AB＞AC，你能证明∠C＞∠B吗？（大边对大角，小边对小角.）

生4：从图中很明显可以看出∠C＞∠B.

生5：将图形折叠，使得点B与点C重合，则∠B落在∠C内部，所以∠C＞∠B.

师：这是操作所得的结果，大家认为严谨吗？

生6：我认为不够严谨，需要进行推理论证.可以过点A折叠，使得点C落在AB上.

师：点C一定落在AB上吗？

生6：一定，因为AB＞AC，然后利用外角大于任何一个与它不相邻的内角来证明.

师：通过刚才探求证明方法的过程，可以感受到：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.

思考：在△ABC中，∠C＞∠B，你能证明AB＞AC吗？（大角对大边，小角对小边.）

【评析】折纸活动不仅是有趣的，而且是有用的，它会给证明提供一种思路.因此在遇到一些几何证明题目时，可以通过折一折、做一做，在实际操作过程中来寻找证明的方法，将数学问题与现实生活联系起来，通过生活中的方法来解决数学问题，这是直观想象核心素养的一种体现，也是活动经验的直接应用，体现了活动经验的可发展性.同时，在解决此思考题的过程中，学生第一次折叠错误，再进行思考与分析，得到了第二种折叠方法，自我的纠错能力也得到了提升，学生的活动经验也进一步得到了丰富.

三、课后反思，提升经验

数学活动课首先要选准数学活动设计的起点.数学活动设计的起点太低，学生会觉得没有探究的必要，不能激发学生探究的兴趣；反之，设计起点太高，学生无法在已有的知识方法与所要探究的对象之间建立有效的联系，从而失去探究的欲望.本节课教学起点建立在学生学习了“轴对称图形”一章之后，通过折纸活动引入课题，通过折正方形，到折等边三角形，再到利用折叠方法来寻找解题思路，学生拾级而上，自然而然解决问题.

数学活动的设计要凸显学生的主体性.史宁中先生曾说过，我们必须清楚，世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历.智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，教师只能让学生在实际操作中磨炼.荷兰数学教育家弗赖登塔尔也说过，数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的.因此，数学活动经验积累需要学生主动去探究、去操作、去思考、去积累、去反思，这样的过程是不能缺少的.在本节课的设计中，学生在折叠等边三角形时主动去尝试，失败后修改，再尝试，最后获得成功的体验.同时，在活动过程中，学生之间相互交流、探究，也有助于学生合作意识的形成，这样的活动经验对学生今后的学习是非常重要的.

数学活动的设计要有探究的价值.数学实验不应停留在化抽象为直观、变静止为运动、变孤立为综合的层面上，而应注重揭示这些过程背后隐藏的数学本质及内在联系，要与数学思想、数学方法挂钩，避免纯粹“漫画式”的、缺乏数学思考的简单操作活动.数学活动经验与数学活动是密不可分的，数学活动既是产生数学活动经验的过程，也是数学活动经验的载体，数学活动的方式决定着数学活动经验的内容与性质.数学活动不同于一般意义上的直观操作活动，它本质上是一种思维活动，因此教师对数学活动的设计要有一定的思维价值，要有探究的意义.