变指数Lipschitz交换子在变指数空间上的有界性

郭庆栋，周 疆，房成龙

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)

1 预备知识

的可测函数组成的集合定义为P (Rn).

定义1.1[3](ⅰ) 设ɡ是连续函数，若存在clog>0使得对所有的x，y∈Rn，满足

定义1.3[5]若p：Rn→(0，∞)是可测函数，Lp(·)(Rn)表示下面函数的集合：

其范数定义为

此外，记B (Rn)为所有满足p(·)∈P (Rn)且Hardy-Littlewood极大算子在Lp(·)(Rn)上有界的函数组成的集合.

同时，为了后面定理的证明更加简洁，定义算子Mδ及变指数分数次极大算子Mα(·)如下：

定义1.5[5]设K是定义在Rn{0}上的局部可积函数，K的Fourier变换的支集是有界的，且K满足

(1)

则对应的奇异积分算子T定义为Tf(x)=K*f(x).若p(·)∈B (Rn)，则T在Lp(·)(Rn)上是有界的.

[b，T]f(x)=b(x)Tf(x)-T(bf)(x).

定义1.6[5]设0<α

进一步，若1/p(·)-1/q(·)=α/n，则Iα从Lp(·)(Rn)到Lq(·)(Rn)是有界的.[6]

[b，Iα]f(x)=b(x)Iαf(x)-Iα(bf)(x).

另外，变指数Riesz位势算子Iα(·)定义如下：

2 变指数Lebesgue空间上交换子的有界性

上面估计中，Mβ(·)f(x)≤CIβ(·)(|f|)(x)[8]，根据引理2.1即可得定理结论.

证明根据引理2.1，

定理2.3设β(·)∈Clog(Rn)，q(·)∈P0(Rn)，p(·)∈B (Rn)，1/p(·)-1/q(·)=α/n，1/p(·)-1/r(·)=(α+β(·))/n.若

由此可得

根据引理2.1，变指数分数次积分算子Iα+β(·)(|f|)从Lp(·)到Lr(·)是有界的，定理得证.

3 变指数Lipschitz空间上的有界性

引理3.1[4]若β(·)∈P0(Rn)，q(·)∈P (Rn)，则

容易验证 [b，T]f=[b-bQ，T]f，故

首先估计D1.

其次估计D2.取1/p(·)-1/q(·)=β(·)/n，根据[b，T]从Lp(·)到Lq(·)的有界性，可得

则有

定理3.2设β(·)∈Clog(Rn)∩P0(Rn)，q(·)∈P (Rn)，p(·)∈B (Rn)且满足

证明容易验证，[b，Iα]f=[b-bQ，Iα]f，故

首先估计E1.

其次估计E2.取

1/p(·)-1/r(·)=(α+β(·))/n，

根据[b，Iα]从Lp(·)到Lr(·)的有界性，可得

最后估计E3.

故