二维谱的多分形特征提取及其应用

任海锋，潘宏侠，潘铭志

(1.中北大学 机械工程学院，山西 太原 030051；2. 晋中学院 机械学院，山西 晋中 030619)

通过分析武器装备工作时的测试信号，对其运行状态进行监测，或对其健康状况进行诊断，对于提升武器装备的可靠性、保证其作战性能具有重要意义。各种类型的二维谱在信号分析中得到了广泛的应用[1]，短时傅立叶变换、各种类型的小波变换、Cohen类和仿射类分布、各种高阶变换、经验模态分解(EMD)、局域均值分解(LMD)等常见的信号分析方法，最终都能得到相应的二维谱。二维谱包含有大量不能以直观方式获取的信息，要充分利用这些信息，必须对二维谱进行进一步的量化特征提取。

现有的二维谱量化特征提取方法，主要是根据二维谱的具体类型和信号源的特点，进行有针对性的处理[2-3]，不但适用范围窄，对经验技巧的要求高，而且在操作过程中也难免会引入一定的主观因素。提取二维谱的矩特征[4-5]或熵特征[6]是目前通用性较强的两种方法，但它们都将二维谱视作一个整体来处理，最终得到的特征量只能体现二维谱的整体性质，许多重要的细节信息都因为这些处理中的求和或平均操作而被淡化或抵消。

笔者提出了基于多分形分析和形态参数拟合的二维谱量化特征提取方法。此方法从奇异性的角度对二维谱进行分层，并对每一层进行维数分析，可更有效地提取二维谱的本质特征。它操作步骤统一，不限于特定问题，具有很强的客观性和通用性，并已在某高射机枪的裂纹故障诊断应用中得到验证。

1 二维谱多分形特征提取方法

将二维谱视为一个二维的数据集，首先借助于小波领袖来估计出其多分形谱上的离散点，然后再根据这些点的分布形态，选用适当形式的、含有待定系数的曲线表达式，来对它们进行拟合，用最终的拟合系数来构成特征向量，并将其作为二维谱的最终特征，如图1所示。

1.1 二维数据的多分形谱

二维数据的多分形谱，即是根据Hölder指数的不同将其中的元素划分到不同的集合，再分别求取每个集合的Hausdorff维数[7]。设二元实函数f∶2→，则f的多分形谱Df(h)定义为

Df(h)=dimH{x∈2∶hf(x)=h}

(1)

式中：hf(x)为f在x处的Hölder指数；dimH为求取一个集合的Hausdorff维数的算子；Df(h)的定义域为f的Hölder指数可以取到的值，可见，Df(h)为一条一维的曲线。

1.2 二维谱的多分形分析方法

二维谱可视为一个二元实函数的等间隔离散采样，它只具有有限的分辨率，并且在两个维度上也只有有限的范围，因此无法直接依据定义式(1)来得到它的多分形谱，可采用基于小波领袖的多分形分析方法[8]。

1.2.1 小波领袖与结构函数

设二维数据集

Z={zx1,x2∶zz1,z2=f(x1Δ1,x2Δ2)}

(2)

为二元实函数f的一个等间隔离散采样，其中(x1,x2)∈X⊂2为采样点的位置指标，Δ1和Δ2分别为每个维度上的采样间隔。设为Z的二维离散小波变换系数，其中j为尺度指标，k1和k2为尺度2j下的平移指标。定义指标的集合

λj,k1,k2={(j′,k1′,k2′)∶j′∈,k1′∈,k2′∈,[k1′2j′,(k1′+1)2j′)⊂[k12j,(k1+1)2j),[k2′2j′,(k2′+1)2j′)⊂[k22j,(k2+1)2j)}

(3)

(4)

则Z的小波领袖L(j,k1,k2)可定义为

(5)

Z的结构函数S(j,q)定义为

(6)

式中，q∈；nj为尺度2j下小波领袖的个数。

1.2.2 多分形谱的估计

(7)

(8)

(9)

(10)

wj=bj(T0j-T1)/(T0T2-T12)

(11)

(12)

式中：j1和j2分别为参与估计的小波领袖尺度指标的最小值和最大值；参数bj可取值为nj或1。

1.3 多分形谱的形态特征提取

在实际应用中，通常要估计出多分形谱曲线上的几十个点，以获得关于其形状的足够信息。若直接以这些点的横纵坐标作为多分形谱的特征，则所得到的特征向量将具有很高的维度，这将不利于后续步骤中分类器的处理。因此，在估计出多分形谱曲线上的离散点以后，通常还要对它们进行降维处理，用降维后的特征量来组建特征向量。

由于实际信号的多分形谱曲线一般都具有比较简单的形状，通常为一段比较光滑的凹函数，可采用形态参数拟合的方法来对它们进行降维。即：根据所估计出来的多分形谱曲线上离散点的分布形态，选用一个适当形式的、含有待定系数的曲线表达式来对这些离散点进行曲线拟合，以最终的拟合系数来组建特征向量并以此作为多分形谱的最终特征。

2 应用实例

2.1 诊断对象与故障设置

本实例要诊断的是某12.7 mm高射机枪自动机闭锁机构的裂纹故障。自动机是自动武器的核心部件之一，负责完成自动武器连续射击所必需的一系列动作，这些动作伴随着强烈的撞击，使得自动机的零部件存在出现裂纹故障的隐患。闭锁机构是自动机的一部分，此机枪的闭锁形式为卡铁摆动式[9]，涉及枪机、闭锁片、枪机框和机匣等零部件，如图2所示。

在此闭锁机构容易发生裂纹故障的部位设置3种不同的裂纹故障，其中的两种设置在闭锁片上，另一种设置在枪机上。这3种故障的裂纹均为开裂纹，切入零件主体部分的深度均为1.5 mm，闭锁片上的每种裂纹故障均在其左片和右片上对称设置，如图3所示。

2.2 数据采集与信号处理

设置有裂纹的3种故障状态和无故障状态共4种工况，控制其他实验参数不变，分别在这4种工况下进行多次的实弹射击，采集每次射击过程中机枪上的振动加速度信号。由于设置有裂纹故障的零件均位于机匣内部，并且它们在机枪射击的过程中都要做高速的往复运动，故无法直接在这些零件上安装传感器。本实验在枪身上靠近开闭锁撞击发生的位置设置了测点，将利用此测点沿枪管轴线方向的振动加速度信号，来对机枪不同的故障状态进行分类。实验系统如图4所示。

首先对采集到的振动加速度信号进行截断处理，以得到故障信息更集中，且只对应于单发子弹的信号段。截断的起始于：机框复进行程末期，机框上的凸起开始与闭锁片发生闭锁撞击的时刻；终止于：机框后坐行程末期，后坐撞击的振动响应已大幅度衰减的时刻。截断后的每个信号段都完整包含了由闭锁撞击、子弹击发、开锁撞击和后坐撞击所引起的振动响应。由于二维谱的多分形特征对于信号截断的始末位置不敏感，可适当放宽对截断位置的精度要求。然后对每个信号段进行参数相同的同步压缩小波变换[10]，可得到相应的小波系数幅值谱，其中一个信号段的处理结果如图5所示。

2.3 多分形谱的估计与特征提取

按1.2节的方法对每个小波系数幅值谱进行多分形分析，可估计出其多分形谱曲线上的多个离散点，再按1.3节的方法来提取这些离散点分布的形态参数，并组建特征向量，如图6所示。

图6中的小圆圈即是估计出的图5(b)的多分形谱上的离散点。由于这些离散点的分布形态接近于对勾函数的一个分支，两条渐近线一条竖直，一条倾斜，因此可选用含有待定系数的对勾函数来对它们进行拟合。这里所选用的具体形式为

(13)

式中：a,b,c,d为待定系数；h为自变量；D为h的函数，它的两条渐近线分别为

(14)

和

D=ah+b

(15)

图中的实线，是按照均方误差最小的准则，得到的拟合曲线。可见，拟合的效果很理想。拟合系数a,b,c,d即可作为多分形谱的形态参数，组成特征向量(a,b,c,d)。

2.4 分类器的训练与分类结果

每个信号段经过上述处理都可得到一个4维的特征向量，可作为一个样本对分类器进行训练和测试。分类器训练好以后，即可用来预测故障类型未知的特征样本所属的故障类型。在本实例中，对每种故障状态各取14个信号段进行处理，可得到相应的14个特征样本，这样，4种故障状态共有56个特征样本。

用这56个特征样本对分类器进行5折叠的交叉验证[11]，即：将这56个特征样本大致分为5等份，每次取其中的1份作为测试样本，剩余的4份作为训练样本，用训练样本对分类器进行训练，再用训练好的分类器去预测测试样本的故障类型；依次轮换不同的测试样本，共进行5次这样的训练和预测。最后，这56个特征样本中的每一个，都曾作为测试样本出现一次，看它被分类器所预测的故障类型的是否正确，进而可以计算分类器最终的预测正确率。这样的交叉验证方法既可充分利用少量的样本数据，又能体现分类器对于未知样本的预测能力。

这里使用了两种常见的分类器：分类树[12]和支持向量机[13]，其中支持向量机采用了3次多项式核函数[14]和一对一的多分类扩展方案[15]。图7给出了交叉验证中两种分类器对测试样本的预测结果，其中：灰底色单元格上部的整数代表相应的样本个数，下部的百分数代表此样本个数占总样本个数的百分比；白底色单元格上部和下部的百分数则分别代表相应的预测正确率和错误率。从图7可知，分类树对于测试样本总的预测正确率为71.4%；对于故障1的预测正确率最低，为50%，但同时被误判为故障1的样本个数也最少，为0个；它对无故障类型样本的预测正确率最高，为92.9%，但同时被误判为无故障类型的样本占所有被判别为此类别的样本的比重也最高，为38.1%，这说明此分类树在预测未知样本时有远离故障1而靠近无故障类型的倾向。支持向量机的预测结果要好于分类树，它对测试样本总的预测正确率为89.3%；对于故障2的预测正确率最低，为78.6%，但同时也没有样本被误判为故障2；它对无故障、故障1和故障3的预测正确率都达到了92.9%；被误判为故障1的样本所占的相对比例最高，为23.5%。

总的来说，这两种分类器的预测结果还是令人满意的。尤其是支持向量机，它对于单个类别最低78.6%的预测正确率和最高23.5%的误判率，在体现出此分类器优越性能的同时，也说明了按笔者提出的方法所提取出的二维谱多分形特征对于微弱裂纹故障的敏感性。

3 结束语

针对二维谱的特征量化问题，笔者提出了基于多分形分析和形态参数拟合的二维谱特征提取方法。它先对二维谱进行多分形分析，再提取其多分形谱的形态参数，以形态参数组建二维谱的特征向量。多分形分析可根据Hölder指数的不同对二维谱进行分层处理，能够有效刻画二维谱的本质特征。基于小波领袖的多分形分析方法是实现多分形分析的可靠手段，它的底层基于离散小波变换，有完善的理论基础和相应的快速算法。通过曲线拟合来提取多分形谱的形态参数，灵活易行，适用于多种形态的多分形谱。笔者的方法不限于具体问题，也不依赖操作者对于信号源的经验认识，在实施过程只需要少量的人为干预，由它所提取的二维谱量化特征具有较强的客观性。在某高射机枪裂纹故障诊断中的成功应用，验证了此方法的可行性和有效性。