火炮可靠性详细预计中MTBF等效转换方法

杨 揆，陈燕婷，高 飞，鲁玉祥

(1.海军装备部驻西安地区军事代表局，陕西 西安 710043；2.西北机电工程研究所，陕西 咸阳 712099；3.陆军西安军事代表局驻咸阳地区军事代表室，陕西 咸阳 712000)

产品可靠性是衡量产品质量的重要技术指标，是通过设计确立、生产保证、试验验证并在使用中显现出来的产品的一种固有质量属性[1]。可靠性预计是保障产品可靠性指标是否能够得以“设计确立”的重要工作环节。受不同研制阶段信息量的限制，在早期研制阶段一般仅进行可靠性的可行性预计和初步预计，在研制后期因系统中各个组成单元的工作环境信息和应力信息都已明确，具备了进行可靠性详细预计的条件。此外，GJB 813—1990也明确提出了在工程研制阶段的中、后期应对产品进行可靠性详细预计的要求。火炮作为一个由大量机械单元组成的复杂系统，其可靠性水平直接影响着火炮的战技指标，因此，在火炮研制的中、后期阶段，利用其组成单元的已知信息，对火炮系统进行可靠性详细预计是研制过程中不可或缺的工作内容。可靠性详细预计的结果的精度一般取决于两个因素：其一是选用模型与实际情况的符合程度，其二是选用模型参数的准确程度。在以往的火炮可靠性预计工作中，对模型参数的精准度均给以了较高的重视，但是对选用模型与实际情况的符合程度则普遍关注不足，致使预计结果与实际情况产生一定偏差。因此，通过对火炮系统中机械单元的平均无故障间隔发数的等效当量指数分布的转换，可以提高火炮可靠性详细预计的结果的精度。

1 火炮可靠性预计常用模型分析

火炮可靠性指标中，平均无故障间隔发数(MTBF)是主要指标之一。在对该指标进行预计工作中，常用如下模型：

(1)

上述可靠性预计模型中隐含着一个基本的假设条件，即火炮系统的各个组成单元均服从指数分布。电子类产品比较符合寿命服从指数分布的模型，而含有大量机械单元的火炮系统显然与之有较大出入。应用式(1)对火炮系统进行可靠性的可行性预计和初步预计尚可接受。而在详细预计过程中，因为火炮系统中的机械单元寿命一般不服从指数分布，而且火炮系统中机械单元数量占比也远未达到可忽略其分布类型的程度，因此，采用式(1)直接进行火炮系统的可靠性详细预计，将会给预计结果带来较大偏差。

由于火炮系统的构成复杂，其组成单元并不全部服从同一分布规律，从而给其可靠性预计工作带来一定的困难，尤其是对MTBF这一指标的预计，目前尚无简单实用的模型可供直接使用，这也成为了对火炮系统可靠性预计时一般采用式(1)进行的主要原因。式(1)是在假设系统的各个组成单元均服从指数分布，由式(2)系统的可靠度预计模型进行积分转化而来的。

(2)

式中,Rs(t)和Ri(t)分别为系统和第i单元工作至t时刻的可靠度。

从而可知，对火炮系统的平均无故障间隔发数的预计，其实质就是火炮系统在某时刻为了满足可靠度Rs而进行的可靠性指标的预计。如果将式(1)中各单元的平均无故障间隔发数看作是各个单元的等效当量指数分布情况下的可靠性指标，则按该模型进行可靠性预计就变得可以接受了。余下需解决的问题就是如何按实际情况将单元的可靠性指标进行等效当量指数分布的转换。

2 MTBF等效当量指数分布的转换

系统的可靠性是由其组成单元的可靠性及其单元间的可靠性逻辑关系决定的。一般情况下，在需要进行可靠性详细预计时，即研制工作已经进入了中后期，此时，系统组成单元的可靠性逻辑关系已经确定，影响系统可靠性的因素就仅有各个组成单元的可靠性了。为保证系统工作至某时刻的可靠度，系统各组成单元工作至该时刻的累积失效概率均不应高于其分配指标，无论其符合或假设其符合何种分布形式。因此，机械单元平均无故障间隔发数等效当量指数分布的转换应遵循的原则即是：符合非指数分布的机械单元工作至某时刻时，其累积失效概率与按其服从指数分布的假设下的数值相等。文献[2]从数理统计的角度给出了其等效当量指数转换的方法与公式：若某随机变量X的分布函数为FX(x)，二阶矩E(X2)存在且有限，如果存在一个随机变量Y，其服从指数分布，将其记为Y～E(λ)，其分布函数为：

(3)

其参数λ可由FX(x)唯一确定，并对给定的概率F，有：

FY(xF,λ)=FX(xF)=F

(4)

式中,xF为概率F的分布函数FX(x)和FY(y,λ)的分位数，则随机变量Y即为随机变量X在概率F下的等效当量指数变量。其参数λ可由下式确定：

(5)

一般情况下，机械单元可用正态分布、对数正态分布或威布尔分布来描述其故障时间分布模型。正态分布可用于分析因机械磨损、老化、腐蚀而发生故障的产品；对数正态分布可用于因机械构件的疲劳累计损伤而发生故障的产品；威布尔分布可用于机电件，如陀螺、电动机、发电机、蓄电池、液压泵等[3-4]。

对某机械单元，设其正常工作时间随机变量为t，其均值为μt，方差为δt。在研制过程中，虽然有时难以确定其δt的真值，但根据实际经验及对单元的分析，确定其变异系数Ct=δt/μt的概略值，在一般情况下是不难做到的，设其值为Ct0。

2.1 正态分布

对服从正态分布的单元，其在工作至等效当量指数分布下的MTBF*为：

MTBF*=(1+0.335Ct0)μt=kμt

(6)

则k=1+0.335Ct0即为服从正态分布机械单元的等效当量指数分布的转换系数。

2.2 对数正态分布

对服从对数正态分布的单元，即t服从对数正态分布，则x=lnt服从正态分布，即：

(7)

对服从对数正态分布的单元，其在工作至等效当量指数分布下的MTBF*为：

1-e-1=0.632 1

(8)

由式(8)可得：

MTBF*=klnμt

(9)

其中

(10)

由式(9)知，kln即为服从对数正态分布机械单元的等效当量指数分布的转换系数。其值可由式(10)计算，在0≤Ct0≤0.63的范围内(实际取值不会超出这一范围)，kln>1且单调递增。

由k及kln的计算公式可知，其值均大于1，且在Ct0的实际取值范围内单调递增。这是由于服从指数分布的单元在其工作至平均无故障间隔发数时的可靠度,均低于服从正态分布或指数正态分布的单元工作至其平均无故障间隔发数时的可靠度所致，与实际情况吻合。因其值在Ct0的实际取值范围内单调递增，故而在实际利用k及kln进行机械单元可靠性指标转换时，应准确确定其变异系数。在不能获取其准确值时，应以保守的方式进行指标的转换。

2.3 威布尔分布

对服从威布尔分布的单元，其概率密度函数为：

(11)

式中：t0为位置参数；η为尺度参数；m为形状参数。

对服从威布尔分布的单元，其在工作至等效当量指数分布下的MTBF*时

1-e-1

(12)

由(12)式可得：

MTBF*=η+t0

(13)

由(13)式可知，对服从威布尔分布的单元，其等效当量指数分布的可靠性指标仅与其位置参数和尺度参数有关，无需通过转换系数进行转换。由可靠性知识可知，服从威布尔分布的单元的平均寿命，对火炮而言即其平均无故障间隔发数为

(14)

其值与形状参数m有关，当m=1时，其即演化成为了指数分布，此时，MTBF=η+t0，与式(13)一致。形状参数是威布尔分布中最为重要的参数，由威布尔分布的形状曲线能够看出，当m=2～4左右时，它在形状上接近正态分布[5]，此时假设其服从正态分布一般也能通过检验。因此，认定单元服从何种分布时应仔细进行。

3 结束语

根据单元的可靠性指标进行火炮系统的可靠性预计，以评价火炮系统能否实现战技指标中规定的可靠性要求，是火炮研制工作中的重要工作内容。由于火炮系统组成单元并不服从同一分布规律，以及采用常用模型进行火炮平均无故障间隔发数可靠性预计时所隐含的基本假设，会给直接利用单元可靠性指标进行火炮系统的可靠性详细预计时的预计结果带来一定偏差。因此，在进行火炮可靠性详细预计时，应根据系统组成单元的具体情况，对单元可靠性指标服从的分布规律进行具体分析。笔者仅对火炮组成中服从正态分布、对数正态分布和威布尔分布的单元进行了分析，对于服从其他分布类型的单元，可依等效转换的原则，选择合适的分布类型进行等效转换。