运用数形结合的思想解决初中数学中的行程问题

董建勋 刘君

“数缺形时少知觉，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休.”这是著名数学家华罗庚先生对数形结合的重要性和必要性的形象概括.相对于其他学科而言，数学教学模式始终都是较为单一、枯燥的.面对具有难度的数学题，学生更是觉得难以理解，以至于失去对数学的兴趣.善于运用数形结合的数学思想就可以弥补数学教学中这一短板，尤其是在解题上，将问题化抽象为具体，将复杂问题简单化.

一、学生学习“行程问题”的现状

在初中数学的学习过程中，普遍学生对于用方程思想解决实际应用问题——行程问题总是困惑不解，无论是在一元一次方程，还是在二元一次方程板块中，学生往往题设读了好多遍，都不知道从什么地方入手，或者平时背下来的行程问题方面的公式不清楚该怎么用或者用哪一个.教师讲习题时能够听得懂，但是一旦拿过来新的练习题又不知道该怎么做.对于刚刚升入初中的七年级学生而言，一到行程问题就特别头疼，甚至放弃，以至于学习二元一次方程时，仍然觉得行程问题是个难点.

面对这样的现象，注重培养学生数形结合的数学思想，巧妙地把文字表述转换成图形描述，让学生直观具体地感受题目就尤为重要了.

二、数形结合思想在行程问题中的应用分析

数形结合中的“数”是指抽象的数或式，“形”是指具體的图形或图像.针对初中阶段学生的学习特点和心理特点，在具体的教学中，我们应该首先引导学生学会观察、分析问题，体会将抽象问题具体化的过程，从而内化为学生较强的分析、解决问题的能力.接下来我将以一元一次方程为例去阐述数学结合思想在行程问题中的应用分析.

我们先从最基础的行程问题去引导学生如何操作.

例1A，B两地相距480 km，一列慢车从A地开出，每小时行驶60 km，一列快车从B地开出，每小时行驶65 km，两车同时开出.

（1）若相向而行，x小时后相遇，则可列方程为;

（2）若相背而行，x小时后两车相距640 km，则可列方程为;

（3）同向而行，快车在慢车后，x小时后快车追上慢车，则可列方程为;

（4）同向而行，慢车在快车后，x小时后两车相距640 km，则可列方程为.

第（1）问中，我们应重在引导学生如何边读题，边把题设中的已知条件转化到图形中去，如下图.我们都知道中学方程这一板块中，重在分析题设中的等量关系，引导学生观察所画的图形，在图形中去分析等量关系.根据图形可以清楚地判断出慢车和快车的行驶路程，而这两部分的和正好是A，B两地相距的480 km，即S慢+S快=480 km.（1）问中已经帮我们设好了未知数x，这样我们就可以列出方程：60x+65x=480.

第（2）问中，我们可以先让学生自己试着运用数形结合的思想去解决问题，然后再演示操作的过程，加深学生的印象.相比第（3）问，运动方向发生了改变，这也是在行程问题中图形化时需要注意的地方.如图所示，可以分析出等量关系是慢车行驶的路程、快车行驶的路程和A，B两地距离组成最后相距640 km，即S慢+480 km+S快=640 km.x h后两车相距640 km，则可列方程为：60x+65x+480=640.

第（3）问中，在我们把A，B两地相距480 km，慢车和快车出发时位置以及速度图形画出之后，开始引导学生分析运动方向，可以通过设置问题让学生主动思考，由学生回答出根据题设中的同向而行，快车在慢车后可以得出两车向左边行驶.确定好运动方向之后，可以小组讨论找出等量关系并列出方程.讨论之后，我们可以按步骤带领学生再在黑板上演示一遍这道题目，共同找等量关系S慢+480 km=S快，列出方程60x+480=65x.

第（4）问，可以由学生自己独立完成，同时让3～4名同学到黑板前演示.

接下来我们可以设置一些类似于例1的题目由学生完成，巩固数形结合思想在行程问题中的运用，体会这种数学思想中的等价转换、数形互补.

三、重视方法，提高应用能力

数形结合的精髓就在于“以数解形”“以形助数”，从而由抽象思维转化为形象思维，通过直观地分析获得对数学本质的认识与理解.我们在数学教学过程中，应注重对学生方法的培养，也就是我们通常所说的“数学思想”，只有掌握了方法，才能真正做到以不变应万变.学习掌握和灵活运用这些数学思想对学生的解题能力和潜力有重大意义.我们还要在有效的训练中培养学生数中思形的意识，能够准确地构造出图形，找到数与形的契合点.反过来，我们也要培养学生学会形中觅数，善于观察图形，获得图中蕴含的代数关系.

在解决实际应用问题中，如果能够帮助学生初步建立起数形结合的思维，对今后初、高中学习函数图像，函数性质以及优化问题都有很大的帮助.

授人以鱼不如授人以渔，数学的巧妙在于解决问题方法的巧妙.最终使学生通过数学学习，既提高了解决数学问题的能力，也在思维上得到了发展.