对圆锥曲线统一定义的认识

2018-12-27 10:25刘仁道
数学学习与研究 2018年18期
关键词:准线动点双曲线

刘仁道

在一次教研活动中,授课教师讲解完双曲线的第二定义后,为同学们布置了一道教材上的习题.

例1求与定点A(5,0)及定直线x=165的距离的比是5∶4的点的轨迹方程.

解设动点P(x,y),它到定点A的距离和它到定直线的距离的比为54,则动点的轨迹为双曲线,焦点在x轴上.c=5,x=165,∴a2c=165,即a2=16,∴b2=c2-a2=9,∴双曲线方程为x216-y29=1.因为刚学习双曲线的第二定义,教材中设计的题是紧靠教材,中心在原点,以坐标轴为对称轴的标准双曲线.如果把题改为:一动点到直线x=3的距离是它到定点F(4,0)的距离的12,求这个动点的轨迹方程.如果按照同样的方法解,解:由题意,动点到定点的距离与它到定直线的距离的比为2,则动点的轨迹为双曲线.c=4,x=3,∴a2c=3,即a2=12,∴b2=c2-a2=4,∴双曲线方程为x212-y24=1.那就错了.因为题中没有明确说明曲线中心的位置,仅由定点和直线不能得出c=4,a2c=3的结论,错误地按曲线中心为原点得出焦点坐标F(c,0)和准线方程为x=a2c的结论.正确的解法是:由题意设动点P(x,y)又题意得12(x-4)2+y2=|x-3|,两边平方得:x-832232-y22332=1即为所求的轨迹方程.很明显双曲线的中心不在原点.教材上的题虽然结果巧合正确,但解法是错误的,也容易给学生造成误会,除非说明了所求双曲线为标准双曲线.

椭圆、双曲线、(椭圆,双曲线的第二定义)抛物线的统一定义是在平面上,若动点M与定点F及M到一条定直线距离之比等于常数e,当e<1时,M的轨迹是椭圆;当e>1时,M的轨迹是双曲线;当e=1时,M的轨迹是抛物线.如何利用圆锥曲线的统一定义呢?为了广义地、完整地理解圆锥曲线的统一定义,现举几例说明.

例2方程(x-1)2+(y-1)2=2|x+y+2|表示的曲线是.

解由(x-1)2+(y-1)2=2|x+y+2|,∴(x-1)2+(y-1)2|x+y+2|2=22>1,点P到定点F(1,1)的距离与定直线l:x+y+2=0的距离的比值为e>1,∴点P的轨迹为双曲线.一个焦点为F(1,1),此时准线为l:x+y+2=0.

例3求经过M(1,2),以y轴为准线,离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程.

解由题意知椭圆在y轴的右侧,长轴平行于x轴,设P(x,y)为椭圆的左顶点,F(x0,y0)为椭圆的左焦点,左准线为x=0,椭圆上点P(x,y),由PFd=e,∴x0-xx=12,∴x0=32x,y0=y,∴F32x,y.又∵点M(1,2)在椭圆上,∴|MF|d=e,∴1-32x2+(2-y)21=12,∴9x-232+4(y-2)2=1即为所求.

此题两次利用了椭圆的第二定义,利用统一定义要注意焦点与准线要在中心的同一侧,否则就会出现错误.

思考题:1.求经过定点M(1,2),以x轴为准线,离心率为12的椭圆下顶点的轨迹方程.

解:设椭圆下顶点P(x,y),下焦点为F,以x轴为准线由定义得PFPB=12,∴Fx,3y2,又由定义得MFMN=12,∴点P的轨迹方程为(x-1)2+32y-22=1.

例4若椭圆的中心坐标为(2,3),一个焦点坐标(4,5),离心率e=12,试求出这个椭圆的另一个焦点,准线方程,并求出这个椭圆的方程.

解中心是两焦点间线段的中点,令另一个焦点为(x1,y1),则x1+4=4,y1+5=6, ∴x1=0,y1=1,即另一个焦点为(0,1),又e=12,∴a=2c,焦点是中心与长轴端点间线段的中点,由中点公式得端点坐标为(-2,-1)及(6,7).中心到准线的距离为a2c=(2c)2c=4c=2a,长轴的端点又是中心与准线和长轴交点间线段的中点,由中点公式得准线与长轴交点坐标为(-6,-5)及(10,11).

由此長轴所在的直线方程为y=x+1,∴准线斜率为k=-1,即准线方程为x+y+11=0,x+y-21=0.

由椭圆的第二定义则有:(x-4)2+(y-5)2|x+y-21|2=12,化为7x2-2xy+7y2-22x-38y-113=0.

对于抛物线可以采用类似方法处理,通过上面几个例子,我们对圆锥曲线的统一定义有了全面、完整、深刻的理解,也为我们利用圆锥曲线的统一定义解题提供了思考的方法,同时弥补了教材讲得不透彻的局限.

猜你喜欢
准线动点双曲线
再探圆锥曲线过准线上一点的切线性质
函数中的动点问题解答策略
分类讨论化解动点型题
动点轨迹方程的解法探讨
把握准考纲,吃透双曲线
“以不变应万变”,求动点的路径长度
双曲线的若干优美性质及其应用
关于确定锥面上一条准线方程的两个误区
圆锥曲线的一个性质及应用
与圆锥曲线准线有关的一个性质的推广