错例研究：让教学改进更为真实

绍兴文理学院教师教育学院（312000）

长期以来，广大数学教师一直用自己的方式在研究数学、研究学生，努力去追寻更为有效的教学策略。错例研究，便是教学改进中最贴近一线教师、最接近课堂、最必要和最具实践价值的数学教育研究方式。

学生在解题过程中出现错误的样式或例子，我们称之为错例，出现错误的这个题就是易错题。同一个易错题可能会因各种原因而出现多种错例，对于出现错误频率高，具有一定普遍性和代表性的错例，则称为典型错例（本文中所指的错例研究，就是典型错例研究）。错例研究，就是立足易错题，以典型错例为研究对象，加以全面剖析、归因，并提出或指导性的，或矫正性的，或预防性的教学建议的研究。教师每天都可以开展错例研究，因为每节课上，每次练习中，每个学习环节里，学生都会发生错误，这样的研究对师生而言，无疑是最本原、最直接，也是最有效的。

一、错例研究对教学改进的价值性存在

联合国教科文组织第十九次国民教育国际会议资料中指出：“应当研究学生所犯错误，并把错误看成是认识过程和认识学生数学思维规律的手段。”在如此高端的教育国际会议中提到了学生的错误，错例研究的价值可见一斑。错例既能反映学生的思维过程，又能反照出教师的教学问题。典型错例是多位学生出现同种错法，因具有普遍性所以更具有研究的价值。

1.典型错例反映出学生的学习难点

学生的学习难点往往就是学生容易出错的地方，典型错例反映出的就是学生的学习难点。如，对于分数乘法应用题“一本书有100页，已经看了这本书的，看了多少页？”学生给出的算式“”就属于典型错例。在访谈学生的过程中发现：分数乘除法应用题对学生来说比较难，是因为学生受到正整数乘法的负面影响，认为“乘法一定是越乘越大，除法一定是越除越小”，这一认知误区影响了他们对分数意义的正确理解。因此，对于这道分数乘法应用题，学生坚定地认为“书还没有看完，说明看的页数肯定比100要小，所以用除法”。这个学生在初学分数乘除法时的学习难点，教师就能从典型错例中有所了解。

2.典型错例折射出学生的认知偏差

学生原有的数学认知结构与新知识之间产生矛盾是正常的，从众多的典型错例中可见一斑。如，对于题目“在2.46和2.47之间有（）个数”，很多学生填“10”。在对学生的访谈中发现，学生对小数稠密性的理解不充分。小数的概念起源于测量和分数的部分与全体关系，有限小数是由“十等分”分割产生的，而十等分活动可以无限制地继续下去，所以任意两个小数之间有无数个小数存在，也就是说，小数具有稠密性。学生之所以填“10”，主要原因并不是他们没有记住定义，而是他们的建构活动发生了偏差，也就是他们对小数稠密性的认知出现了偏差。

3.典型错例映照出教师的教学缺失

错误不但能反映出学生的认知发展水平和行为习惯，而且能映照出教师在教学理念和教学行为上的不足。如，简便计算的学习中，对于利用减法运算性质“ab-c=a-（b+c）”计算的变式题目“1603-（603-75）”，很多学生这样做：1603-（603-75）=1603-603-75。学生会这样做，更多地还是受减法运算性质“a-b-c=a-（b+c）”的影响。出现这样的错例，教师应该反思是不是教学时只关注了基本形式，而忽视了该性质的变式练习，以至于没有足够重视连减的简便计算的变式，才造成了学生计算错误。如果能出示变式题，并利用问题情境进行教学，学生必然能够更好地掌握相关知识。

教师只有研究错例，读懂错误，了解学生的学习难点，把握学生的认知缺陷，才能明白自己在教学过程中的种种缺失，从而对教学做出相应的思考和改进。这正是错例研究对教学改进的真正价值。

二、错例研究对教学改进的现实性思考

错例折射出了教与学的问题，也就为教学改进提供了事实依据。而从哪里改进，改进什么，如何改进，也就有了其客观的现实意义。英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”只有认识到错例的价值，才能更好地对其进行研究，而研究是为了改进，以改进教学来最终实现更有效的教学。

1.有利于读懂教材，把握教学难点

典型错例反映的正是学生的学习难点，即教学的难点。那么，怎样来突破教学难点，从而化解学生的学习难点呢？突破难点的前提是知道难点是什么，在哪里。这就给教师提出了“读懂教材，正确把握教学难点”的要求。

对于题目“把一根4米长的木料平均分成5段，每段是这根木料的（ ），每段长（ ）米。”，五年级的学生容易出现错误。这是由于题目中的两个问题非常相似，又比较抽象，很多学生弄不清是求具体的数量，还是求部分与整体的关系。这恰恰就是“认识分数意义”的教学难点。要突破这难点，就要研究“分数的意义”教学在教材中的编排情况。“分数的意义”分别安排在三、四年级，分两个阶段来学习。对于教材的编排，教师会有两点感受：一是感到分数意义理解的轻重失衡。教材没有安排独立的课时来研究用分数表示数量，所以和学生在第一学段已建立起“部分和整体的一种关系”相比，分数代表一种数的内容过于单薄。二是不利于学生学习分数意义时进行正迁移。教材先让学生理解分数表示“部分和整体的一种关系”，再概括分数的意义，然后学习分数与除法的关系，最后认识分数表示一种关系的另一种意义。这样编排于无形中割裂了分数的两种意义，使学生的学习不能发生正迁移，学生必然就会错误理解所学的概念。通过对教材的反复研读，笔者用“板块系统教学”的思想对“分数的意义”教学做了改进，一是重组教学内容，均衡分数两种意义的理解；二是指导学习方法，引出分数的两种意义；三是拓展题目类型，强化分数的两种意义。通过这三个策略帮助学生完整掌握分数的两种意义，并为今后小数乘除法、分数乘除法等计算教学和相关解决问题的教学做好铺垫。

典型错例能促动教师反观和审视教材，进一步思考教学的重点和难点，从这个意义上讲，错例研究其实就是对教材内容的再度理解与把握。

2.有益于摸清学情，做到对症下药

差错总是伴随着教学产生，学生的许多错误都是由于教师不了解学生的认知基础和思维特点等而造成的。教师只要顺“错例”这根藤摸到“错误原因”这个瓜，就能摸清学生的学习情况，再依此开展教学改进。

对于题目“在一个长7分米、宽5分米的长方形纸上，要剪出边长是2分米的正方形，最多能剪出这样的正方形多少个？（请你画一画示意图）”，学生的典型错例是（7×5）÷（2×2）=8。在访谈中，学生的回答惊人相似：用“进一法”来解决，而对于画示意图的提示不屑一顾，觉得这只是一个辅助方法而已。从中可以发现，学生的思考点在以前曾经用什么方法解决过类似的问题，至于是否适用该题，是否符合生活实际，都不予考虑。

可见，学生只是在调用原有的解题经验，而没能具体问题具体分析。这个错例至少给了教师两点启示：一是数学只有在应用中才能体现价值，数学教学需要跟生活情境紧密结合；二是要有意识地渗透问题解决的策略，画示意图是一种最常用、最便捷的解题策略。由此可知，只有走进学生的心灵，了解他们的所思所想，摸清学情，教学方可做到对症下药。

3.有助于反思自我，推动教师的教和学生的学

错误产生的原因是多方面的，但最主要的还是集中在教师和学生两个方面。面对学生的差错，就教师而言，要反思自己的教学行为；对学生来说，要学会自我诊治，在与错误的对抗中获得发展。

错例研究，能让教师养成一种遇到问题就去分析和思考的习惯，在日常教学中也必然会有意或无意地审视自己的教学行为，而后带着“是否合理”的疑问去展开教学。教师教之前就会多一些深究，在深究中教材被再次研读，教法被再次推敲，活动被再次设计，学生被更多地推到教学“中央”。改进后的教学在“再次”和“更多”中变得更加真实和有效。

错误被认为是可贵的教学资源，其可贵不仅在于教师可以“因错施教”，更在于学生可以在差错中学习。面对学生的差错，教师要适时引导，并提供给学生自我诊治和修正的机会，让学生在辨析和纠正错误中改进学习方法。因此，教师的错例研究，对学生而言，是给了他们思维发展的空间，让其经历一个自悟自得的创新过程。学生自己从错误的认知中走出，比教师直接告诉他们正确答案更能让他们记忆深刻。这也印证了作家莫言所说的：“人不怕犯错误，犯了错误，如果能带着教育和反思爬起来，错误就会成为课堂。”

三、错例研究对教学改进的建议性策略

错例是有效诊断教与学的载体，错例研究最终是为了改进教学。对于如何利用错例有效改进数学教学，提高课前预设、课堂预防、监控、矫正及课后补救的效率，许多教师都在默默探索，积极实践。绍兴小学数学教师在长达六年的错例研究中，依据易错题的知识属性，提出了相应的教学策略。本文则从另外一个角度，提出利用错例改进教学的策略。

1.“提前干预式”策略

“提前干预式”策略,即教师在课前已经知道了本节课对应的错例，根据错例预设相应环节，提前刺激学生的“犯错”主动性，让学生在“错误被干预”的情境中充分体验，构建正确的知识系统。这里的“干预”，根据需要可以是“对教学现场的主动干预”，也可以是“对教学设计的事前干预”。下面给出一个教学现场中主动干预的案例。

学习“用比例解决问题”时，学生经常会犯所设的未知数与列的方程不一致的错误。如，甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开往乙地，2小时行驶了140千米。照这样计算，到达乙地还要多少小时？

解：设到达乙地还要x小时。（小时）。

对于这样的错例，教师可以在课上进行“未教先知”的“干预”：出示上题，要求学生独立解答；随即巡视，发现大部分学生出现与上题雷同的错误；接着，找两位分别做对与做错的学生把解题方法写在黑板上，对比分析，弄清出错原因，并提出修改方案。

如果仍然“设到达乙地还要x小时”，怎么修改方程使之正确？如果计算过程仍然是“，x=6，6-2=4（小时）”，怎么改也能使之正确？通过对“设法”与“方程”两条途径的修改，使学生深刻领悟到只有所设的未知数与方程必须一致，才能避免自相矛盾。这样的教学自然能收到事半功倍的效果。

2.“内容调整式”策略

“内容调整式”策略，即改变教材原定的顺序，将错例所生发的教学内容提前，以此来了解学生的出错情况。

在运用运算定律进行简算时，学生会出现各种各样的错误，尤其是运用乘法结合律和分配律进行简算，就有（80+4）×25=80+4×25、25×（4×8）=25×4+25×8等错例。这时，教师可以在运用“提前干预式”策略的基础上，对“乘法分配律”和“乘法交换律和结合律”两个内容的教学顺序做调整。下表呈现的是四年级A、B两个班的不同教学情况。

班级教学顺序A班先教学乘法分配律，再教学乘法交换律和结合律。B班先教学乘法交换律和结合律，再教学乘法分配律。教学完两个内容之后，给出4道计算题进行后测：A.（80+4）×25B.12×97+3C.25×（4×8）D.32×25×125后测情况A题：学生都能正确运用乘法分配律进行简算，错误率为0；B题：学生运算顺序错误，先算97+3的错误率为2.17%，其中有32.61%的学生算12×97时用了乘法分配律进行简算；C题：错用乘法分配律得出25×（4×8）=25×4+25×8的学生有6.52%；D题：错用乘法分配律得出32×25×125=（4×25）+（8×125）的学生有8.70%。A题：有13.04%的学生没有完整使用乘法分配律，写成了80×25+4或80+4×25；B题：学生运算顺序错误，先算97+3的错误率为21.74%，其中只有10.87%的学生算12×97时用了乘法分配律进行简算；C题：错用乘法分配律得出25×（4×8）=25×4+25×8的学生有28.26%；D题：错用乘法分配律得出32×25×125=（4×25）+（8×125）的学生有32.61%。

对A、B两班的部分学生进行访谈，访谈的话题是“你怎样看待乘法结合律和分配律”。从访谈中发现，从乘法意义的角度去理解和建构乘法分配律，学生就能掌握乘法简算中最核心的部分，以及A班学生对乘法分配律使计算简便的价值认识相对B班学生更深刻。

当然，运用该策略时，要在透彻理解教学内容，不违背学生认知规律的基础上进行。

3.“专项训练式”策略

从本质上看，很多错例是与学生的数学能力、数学观念与意识、解决问题策略等有关。“专项训练式”策略，就是从运算能力、空间观念、解决问题能力等方面入手，设计专门的数学活动，从而减少出错，帮助学生提升基本的数学素养。

在“解决问题”的错例中，学生“题意不理解”“方法不灵活”“数学模型模糊”等原因造成的错误较多。因此，开展解决问题方面的“四常”专项指导就能收到良好的效果。

“常规”常训练。解决问题最首要的一环就是审题：明白已知什么，要解决的问题是什么。要求学生做到三审：一审，弄清在讲什么事；二审，提取有用信息；三审，清楚信息间的组合与搭配。

“提出问题”常尝试。学生在读取信息后，筛选有用信息，能将这些信息进行关联并提出有价值的问题。

“常用策略”常渗透。教师结合相应的素材，将解决问题常用策略的专题指导有机地渗透在各年级的“解决问题”教学中，如画图策略（画线段图和示意图）、列表策略、转化策略、猜想与尝试策略、从特例开始找规律策略等。教师在“解决问题”的教学过程中，要有意识地让学生逐步积累这些策略，使得学生熟能生巧。

“方法多样”常激发。解题方法的多样意味着思路开阔，思维有质，数学思考有章法。

对于运算能力、空间观念等，也可以设计一些载体开展有的放矢的训练。在这样的训练中，学生的学习能力增强了，思维品质改善了，教与学的质量也就提升了。

4.“检测反馈式”策略

“检测反馈式”策略，即对课堂中或一个阶段中所需要涉及的错例设计不同形式的练习并做出及时反馈和教学调整。根据不同的反馈时机可以分为前后测反馈、课堂反馈和阶段性反馈。

前测与后测反馈。前测与后测可以说是现代教学中应用较为广泛的研究方式。前测能为教师进行有效而合理的教学设计提供现实依据，后测则可让教师较为直接地判断本节课的设计是否贴近学生实际，学生是否掌握了新知。如，教学“乘法分配律”之前，教师基于学生对乘法意义的理解、对乘法分配律的基本模型的了解程度和应用情况等的了解，拟定前测练习，包括根据乘法分配律进行填空、给出等式进行判断、结合乘法分配律解决问题三种题型。前测之后分析测试结果，找到问题的症结，从而进行教学改进。又如，在结束“除数是两位数的除法（例2）”教学改进尝试之后，拟定用5道笔算题“84÷28、121÷17、324÷81、272÷68、243÷42”进行后测，以判断本次教学改进是否有效。

随堂反馈。采用随堂反馈的形式，可以让学生直面错误，并当堂解决。如，“亿以内数的认识”的练习巩固环节，教师直接亮出与本节课内容相关的易错题“10个一千万是（ ），一百万是10个（ ），十亿是（ ）个一千万。”，再根据学生的错误情况进行纠错。

阶段性反馈。阶段性反馈也是应用错例进行教学的一种较有效的方式，可以在单元内容教学完成之后或是在期末开展。如，四年级上册第一单元“大数的认识”的教学完成后，教师可把这单元中相应的易错题加以汇总，对学生进行测试，根据错误率的情况来判断教学的成效，再进一步思考和调整改进的策略。

错例，是可贵的教学资源，既能给教学提供最好的素材，也能为教师把握学科本质与研究学生提供原始的研究数据。错例研究，根植实践和学生，是贴近课堂和学情的一种数学教学研究，能给教学改进插上了最真实的翅膀，为实现更高效的教学提供一条有益的路径。