用“类比法”开展数学教学的实践与思考

■戴回娟

“类比”是“一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，做出它们在其他特征上也可能相似的结论。类比推理是一种或然性的推理，其结论是否正确还有待实践证明”。“类比”也是一种非常重要的学习与研究方法，数学上许多结论或者研究方法都是通过类比得到的。类比的结论不一定正确，需要通过实践或逻辑推理来检验其正确性。基于此，利用类比法进行数学教学是一种行之有效的方法，既能引导学生掌握一种思维方式，又能在数学学习中培养学生严谨的理性精神。类比法教学必须基于学生已有认知基础和经验、在学生最近发展区内。本文拟通过几个案例，谈谈利用“类比法”开展数学教学的实践与思考。

一、用“类比法”开展数学教学的实践

“类比法”在数学教学中应用广泛。在教授新知识时，可以引导学生找到类比源，从数学本质特征上进行类比，可以从数学结构形式上进行类比，也可以从研究路径策略上进行类比，还可以从数学思想方法上类比。

1.从数学本质特征上类比。

案例1 反比例函数教学

这是苏科版数学教材八年级下册第11章的内容。教材通过几个具体的问题情境，列出相应的函数关系式，进而给出定义：一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数。

显然，反比例函数概念的引入是基于学生的两个认知基础：（1）小学的“反比例”概念。苏科版小学六年级下册“反比例”一章，先通过实例得到“单价和数量是两种相关联的量，单价变化，数量也随之变化，当单价和数量的积是一定（也就是总价一定）时，笔记本的单价和购买的数量成反比例关系”。进而给出反比例的概念：“如果用x、y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用下面的式子表示：xy=k（一定）”。（2）函数概念。在八年级上册学习了函数的描述性概念，“反比例函数”这一章从学生的已有知识出发：对于y=k为常数，k≠0）而言，一是有x、y两个变量，对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与x对应，故y是x的函数；二是将y=k为常数，k≠0）变形为xy=k（k为常数），即两个变量x、y的积为定值k，符合小学反比例关系的本质特征。因此，由类比“反比例”和“函数”这两个概念的本质特征，顺理成章得到“反比例函数”的概念。

2.从数学结构形式上类比。

案例2 二次根式= ||a的教学

尽管课程标准中明确了“运用二次根式的加、减、乘、除运算法则进行二次根式的四则运算，根号下仅限于数”，但就而言，其相关意义应该要求学生掌握，而这恰恰是学生学习的难点。教学中，可从根式的结构形式上采用类比法进行教学。

活动一学生自主练习：计算，，。

活动二请举出类似的例子并计算，能否举出所有这样的例子？怎么办？学生们容易想到 a2，并类比a为具体数的结论得到= | a|。

活动三计算

通过分别列举x＜0、x＜y、x＜2等反例，让学生得出二次根式的意义= | a|，进而得出如下结论：①被开方数不能是负数；②二次根式不可能是负数。

这里就是由二次根式中被开方数为“数”的结构形式，类比得到了被开方数是“式”的结构形式，被开方数为“数”中的“数”和结果的符号是显性的，而被开方数为“字母”或“式子”的符号可能为负，是隐性，这是问题的关键。进而让学生体会到：通过类比结构形式进行数学学习时要注意二者之间的差异性。

3.从研究路径策略上类比。

案例3 矩形的教学

这是苏科版八年级下册第9章继平行四边形之后的内容。我们知道，平行四边形研究的路径是：

在小学将矩形称为长方形，其研究路径、策略与平行四边形的研究路径、策略一样。教学中，可启发学生回忆平行四边形的研究路径与策略，进而类比出矩形的研究路径策略。故引入过程可这样设计：

（1）通过现实生活的情境直接呈现图形；

（2）提出问题：你认为这种图形应该从哪几个方面进行研究？学生可能得出“从定义、性质、判定和应用四个方面研究”；

（3）你怎么知道按照这样的路径研究的？学生自然会类比联想平行四边形的学习，得到矩形的研究路径。

这种类比教学就是研究路径与策略的类比。

4.从数学思想方法上类比。

用数学思想方法支配解题活动，解题就会有章可循。数学思想方法总是成类出现，利用数学思想方法进行类比法教学，对提升学生解题能力具有较大的作用。

案例4 关于一类二元一次方程组解法教学

这是通过数学思想方法的类比进行的教学，这样的教学会让学生印象深刻，更有利于学生掌握数学中最本质的东西。

二、用“类比法”开展数学教学的思考

诚然，“类比法”是一种重要的数学教学方法与策略，也是不可或缺的学习与研究方法。但用类比法开展教学必须特别注意两点：一是关注当前问题、结论与源问题的条件、结论的差异性；二是关注类比得到结论的或然性。

1.不能忽视当前问题与源问题的差异性。

为什么需要类比？正是因为当前问题与源问题具有差异性，才有必要“类比”。如果没有差异性，属于同一（或同质）问题，就没有“类比”的必要性。因此，我们在根据当前问题与源问题的某些相似性进行类比结论时，要由问题的差异性得出结论的差异性。如研究一元一次不等式时可类比一元一次方程，但不能忽视“等式”与“不等式”的差异，两边同乘（或除以）一个数（或式）时，方程只要考虑这个数（或式）不等于0即可，而不等式则要考虑这个数（或式）是正数还是负数，因为这影响到不等号的方向是否改变的问题。

2.高度关注类比所得到结论的或然性。

类比得到的结论不一定正确，需要证实或证伪。例如：类比“全等三角形对应边上的中线相等”，得到“全等三角形对应边上的高相等”，这其实是真命题，但只有通过严密的演绎推理，才能确认其正确性。再比如：由=3、等很容易类比得到=a。这个结论正确吗？显然，当a＜0时结论不正确。

因此，作为数学教师，一是要多用类比的方法进行数学教学；二是要引导学生学会用类比的方法研究数学对象；三是要通过具体案例让学生认识到：用类比的方法研究问题时，注意关注当前问题与源问题的差异性、类比的结论具有或然性。