寻觅球心的几种视角

福建省罗源一中 (邮编：350600)

球是立体几何的重要内容，是培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要载体.四面体外接球问题在质检、高考和竞赛试题中频频出现，解决四面体外接球问题的关键在于确定球心的位置，本文给出寻觅球心的几种视角，为教师教学提供参考.

1 在过四面体底面外心且垂直底面的直线上觅球心

由于四面体外接球球心到各顶点的距离相等，所以球心在底面的射影为底面三角形的外心，因此可在过底面外心且垂直底面的直线上寻觅四面体外接球的球心.四面体的各个面都可作为底面，为便于寻觅球心，常选择特殊三角形(如直角三角形、等边或等腰三角形等)为底面.

1.1 若四面体两个面是公共斜边的直角三角形，则球心为斜边中点

直角三角形的外心为斜边中点，若四面体两个面是公共斜边的直角三角形，由于过公共斜边中点且垂直两个面的两条直线的交点即为公共斜边的中点，所以四面体外接球的球心在公共斜边的中点.由两个面公共斜边中点到四顶点的距离相等，亦知四面体外接球的球心在公共斜边的中点.

例1 (2018年福州市高三质检文科第10题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.已知四面体ABCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB=BD=CD=2，且该鳖臑的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______.

图1

1.2 若四面体有一个面为直角三角形，则在过斜边中点且垂直于直角三角形所在平面的直线上觅球心

A.1 B.2 C.4 D.8

图2

显然当球O2与面BCD相切且在面BCD下方与球O1内切时直径最大，最大值为OH1与球O1半径之和，故球O2直径最大值为8.

1.3 若四面体涉及二面角大小，设过二面角两个半平面所在三角形外心且垂直所在面的直线为l1、l2，则球心为l1、l2交点

例3 (2018年全国高中数学联赛福建省预赛第6题)如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC、△ABC都是边长为6的等边三角形.若二面角P-AC-B的大小为1200，则三棱锥P-ABC外接球的面积为_______________.

图3

图4

2 在长方体中觅球心

对某些特殊四面体，可通过构造长方体将四面体“镶嵌”在长方体内，使四面体的顶点为长方体的顶点，则长方体的对角线和中点分别为四面体外接球的直径和球心.以下几种情形的四面体都可通过构造长方体寻觅其外接球球心.

2.1 若四面体三条棱两两垂直，则分别以这三条棱为长、宽、高构造长方体

例5 同例1

图5

例6 (2018年全国高中数学联赛四川省预赛第10题)在三棱锥P-ABC中，三条棱PA、PB、PC两两垂直，且PA=1,PB=2，PC=2.若点Q为三棱锥P-ABC外接球的球面上任一点，则Q到面ABC距离最大值为______.

图6

2.2 若四面体中的空间四边形有三个直角，则以直角顶点为端点的两条边为长和宽，以过非直角顶点的对角线为对角线构造长方体

四面体去掉一组对棱变成空间四边形，若空间四边形有三个直角，则以直角顶点为端点的两条边为长和宽，以过非直角顶点的对角线为对角线构造长方体.

图7

2.3 若四面体三组对棱相等，则以三组对棱为长方体六个面的对角线构造长方体

图8

3 在空间直角坐标系中觅球心

通过建立空间直角坐标系，利用球心到四顶点的距离相等求出球心坐标.

例9 (2018年全国高中数学联赛山西省预赛第7题)四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为______.

图9