转换思路,消减误差

马 辉

(江苏省丰县中学,江苏 丰县 221700)

在实验测量过程中,由于原理的不完善、仪器的精度不够、实验方法粗略或测量者的不规范操作等,都可能会使测量结果相对真值而言总是偏小或偏大——即测量产生了系统误差．若要想使系统误差减小甚至消除,我们可根据实验的具体特点,转换思路,采用不同的方法加以处理,往往能巧妙地规避系统误差的产生和影响．

1 转换实验研究对象

对同一实验装置而言,如果我们选定了其中的某个物体作为研究对象,则实验的系统误差就有可能无法避免．但在实验装置及操作都不改变的前提下,如果我们仅仅把研究对象转换一下,比如换一个与之相关联的另一物体,或者扩大或缩小研究对象的范围等,则因测量原理而引起的系统误差将有可能得以完全消除．

譬如高中教材中的“探究加速度与力、质量关系”的实验,通常的方案是采用“控制变量法”, 如图1所示的装置就是一种常用的方案．实验时让砂筒通过细线拉着小车加速滑行,设小车及车上砝码的质量为M、砂桶及桶中砂的合质量为m、细线的拉力为F,实验中无论是“保持小车(含车上砝码)的质量M不变”还是“保持砂筒的拉力不变”,我们都是让小车与砂筒的质量关系满足M≫m,认为在此条件下细线的拉力可近似等于砂筒的重力,即F≈mg,这是为什么呢?

图1

根据牛顿第二定律,对平衡过摩擦力之后的小车有:

F=Ma,

(1)

对砂桶有:

mg-F=ma.

(2)

F≈mg.

(3)

由于拉力实际上总比砂筒的重力要小些,这就必然引起了测量的系统误差,那么能不能想办法让这一系统误差消除呢?

由(1)、(2)两式消去F有:

mg=(M+m)a,

(4)

鉴于此式,我们可以选小车、车上砝码、砂桶和桶中砂所组成的系统为研究对象,此时系统所受合外力就是mg,系统总质量为(M+m),该系统的牛顿第二定律方程为:mg=(M+m)a,此式中是“=”号而非“≈”号,若把mg写作F合,(M+m)写作M总,则该式就可写成

F合=M总a,

(5)

我们若利用它来“探究加速度与力、质量关系”,就可避免之前阿式中因为拉力的近似取值而引起的系统误差了．

利用(5)式来“探究加速度与力、质量关系”,当保持系统质量M总不变探究加速度a与合力F合的关系时,如何改变拉力F合的大小呢?

因为F合是桶和砂的重力,故增减桶中的砂就可使F合改变,但砂又是M总的一部分,如何做到在增减砂时使M总不发生变化呢?其实办法很简单——只需把桶中的砂子取出一些放在小车上即可;若要增大拉力,只需要把小车上的砝码取下一些来放于砂桶中．这样既保证了系统的质量不变,又改变了砂筒的拉力,且能保证数据的多次测量,操作简单、方便易行．若要让拉力能够连续地随意改变,我们也可以用砂子取代小车上的砝码,与桶中的砂子互相转移即可,且不用考虑受M≫m条件的限制,从而保证了拉力的连续可调,以方便可获取更多组的测量数据．

图2 图3

2 转换实验数据处理方法

对同一组测量数据来说,其处理方法往往不止一种．有些方法处理起来系统误差可能不可避免,但若换一种方法来进行处理,却往往能将系统误差巧妙地予以规避．

图4

例1.(2013江苏卷11题)某兴趣小组利用自由落体运动测定重力加速度,实验装置如图4所示．倾斜的球槽中放有若干个小铁球,闭合开关K,电磁铁吸住第1个小球．手动敲击弹性金属片M,M与触头瞬间分开,第1个小球开始下落,M迅速恢复,电磁铁又吸住第2个小球.当第1个小球撞击M时,M与触头分开,第2个小球开始下落…．这样,就可测出多个小球下落的总时间．某同学考虑到电磁铁在每次断电后需要时间Δt磁性才消失,因此,每个小球的实际下落时间与它的测量时间相差Δt,这导致实验误差．为此,他分别取高度H1和H2,测量n个小球下落的总时间T1和T2．他是否可以利用这两组数据消除Δt对实验结果的影响?请推导说明.

(6)

(7)

滞后时间Δt很难确定其大小,如果我们将之略去不计,无疑会导致测量结果偏小,即不可避免地会产生系统误差．但如果我们把(6)、(7)两式联立,把Δt消去,则可解得

显然,利用该式就不必再考虑Δt的大小,而直接消除了因Δt导致的系统误差．可见选择恰当的方法处理实验数据,有时可巧妙地规避系统误差的产生．

图5

3 转换实验测量方案

有些系统误差源于实验原理,如“伏安法”测量电阻的阻值,若用安培表外接法,则测量值就必然偏小,若用安培表内接法,则测量值就必然偏大,这些系统误差都是由测量原理所决定的．我们要想将其消除,就可以将“伏安法”抛开,另择他法．比如采用惠斯通电桥电路测电阻、替代法测电阻等．

图6

图6是教材里“把电流表改装为电压表”的实验中给出的一种用半偏法测量电流表G内阻的电路,其中R1是阻值很大的电位器,R2是电阻箱．测量前R1的阻值先调至最大,合上S1后调节R1使电流表满偏,此时有

(8)

然后合上S2调节电阻箱R2使电流表半偏,就认为电流表的内阻与电阻箱此时的阻值相等,即R2≈rg．为什么呢?

由闭合电路的欧姆定律得电流表半偏时的干路电流为

(9)

又因为

(10)

所以由(8)-(10)联立可解得

由于R1≫rg,所以可认为R2≈rg．该原理引起的绝对误差的大小可表示为

显然,无论电位器的阻值有多大,该绝对误差都不可避免．

图7

要想将上述系统误差消除,我们就可以抛开半偏法,另换一种测量电路试一试,比如用“等效替代法”,如图7所示．图中R为电阻箱,G1为待测电流表,G2为标准电流表,E为电源,先将R调至最大,开关S合上b端,调R阻值使标准电流表G2到某一数值I,记下电阻箱的阻值Rb,则有由闭合电路的欧姆定律得

(11)

再将开关掷向a端,调R阻值使标准电流表G2的数值仍然为I,记下电阻箱的阻值Ra,则有

(12)

比较(11)、(12)两式可得

rg1=Ra-Rb,

利用此式来测量G1的内阻就能把因测量原理而引起的系统误差给巧妙地消除了．

一般说来,要想削减实验误差,在实验前我们就要明确产生误差的原因,对影响误差变化的可能因素进行分析,针对产生机理采取相应的预防措施,譬如改善实验原理、设计更精准的实验方法等．测量过程中有针对性地采取某些技术手段来削减误差,如规范操作、控制温度、屏蔽外界电磁场的干扰等．测量后,我们则可以通过科学的数据处理,灵活选择更好的方法来处理实验数据,以期达到减小或消除实验误差之目的．