特殊手段巧转化，立体几何妙处理

■韩文美

我们在解决一些立体几何问题时,往往可以结合具体题目条件,通过特殊手段,结合特殊点、线、面或特殊立体几何图形等的应用,利用数形结合来处理,从而使问题得以巧妙转化,有效解决。下面分别举例分析,希望对大家的学习能起到抛砖引玉的作用。

一、有关空间线、面关系的判定问题

例1 若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )。

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

分析：结合题目条件,直接构造特殊的立体几何图形——正方体,通过数形结合来加以直观判断。注意对特殊图形中不同的位置情况要加以全面考虑。

如图1所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设BB1是直线l1,BC是直线l2,AB是直线l3,DD1是直线l4,则l1∥l4。设BB1是直线l1,BC是直线l2,CC1是直线l3,CD是直线l4,则l1⊥l4。所以l1与l4的位置关系不确定,故选D。

图1

二、有关数值的处理问题

例2 如图2,在三棱锥S-ABC中,E,F,G,H分别为SA,AC,BC,SB的中点,则截面EFGH将该三棱锥分成的两部分的体积之比VABGHEF∶VSCGHEF为( )。

图2

A.1∶2 B.2∶1

C.1∶1 D.1∶3

分析：结合题目条件,直接构造特殊的立体几何图形,利用正四面体的特殊情况来解决两部分的体积比问题,这样就省去了复杂的空间几何体的体积计算,提高了解题效益。

由于图形不确定,而答案固定,故假设该三棱锥为正四面体,则所截得的两部分形状一样,体积相等,即VABGHEF∶VSCGHEF=1∶1。故选C。

三、有关几何体体积的求解问题

例3 已知正四面体P-ABC中,D,E,F分别在棱PA,PB,PC上,若PE≠PF,且DE=DF=7,EF=2,则四面体P-DEF的体积为____。

分析：对于立体几何中的动三棱锥的体积问题,直接求解难度非常大,且无法切入。而通过特殊化处理,使得点D与点A重合,设出相应线段的长度,利用余弦定理,在不同三角形中建立对应的方程,联立方程求出x+y与xy的值,并求出△PEF的面积与正四面体P-ABC的高h。通过等积法的转化来求解,化动为静,减少变量关系,降低思维难度,有效地将空间问题转化为平面问题,结合平面图形中对应的边角关系来处理,思维方式特殊,解题效果明显。

如图3,特殊化处理,使得点D与点A重合,不妨设PF=BE=x,PE=FC=y,则正四面体P-ABC的棱长为x+y。

在△PEF中,由余弦定理可得4=x2+y2-2xycos60°,即x2+y2-xy=4。在△PAF中,由余弦定理可得7=x2+(x+y)2-2x(x+y)cos60°,即x2+y2+xy=7。

图3

四、有关空间中异面直线所成的角

例4 如图1,平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成的角为( )。

A.60° B.30°

C.45° D.90°

图4

分析：用平移法求异面直线所成的角的三个步骤:(1)一作:根据定义作出异面直线所成的角。(2)二证:证明作出的角就是异面直线所成的角。(3)三求:解三角形,求出作出的角。

设平面CB1D1∩平面ABCD=m",平面CB1D1∩平面ABB1A1=n"。

因为α∥平面CB1D1,所以m∥m",n∥n",则m,n所成的角等于m",n"所成的角。

延长AD,过D1作D1E∥B1C,交AD的延长线与点E。

连接CE,则CE为m"。同理可知,B1F1为n"。

由于BD∥CE,B1F1∥A1B,所以m",n"所成的角即为A1B,BD所成的角。容易得到m",n"所成的角为60°。应选A。

五、有关空间二面角的分析问题

例5 如图5,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A"CD,所成二面角A"-CD-B的平面角为α,则( )。

A.∠A"DB≤α

B.∠A"DB≥α

C.∠A"CB≤α

D.∠A"CB≥α

图5

分析：直接通过题目条件判断所给两角之间的大小关系,难度比较大,而通过极限法(极限法是根据题干及选项的特征,考虑极端情形的方法,有助于缩小选择面,使计算简便,迅速找到答案),结合翻折角的变化带动点的变化来分析,可以很快确定答案。

结合对应的图形,采用特殊的极限思维:从点A开始,当△ACD沿直线CD翻折→180°时,α→0°,排除 A、C项;从点A开始,当△ACD沿直线CD翻折→0°时,α→180°,排除D项。故选B。