小心无大过，严谨总不错——对2018年全国卷Ⅰ理21题的评析

江西 俞 振

高考之后，教师总是有种迫不及待要分析高考真题的心情，特别是对高考压轴题的分析.笔者这次选择的是2018年全国卷Ⅰ理科21题(12分)，原题如下：

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

该题考查的知识点是分类讨论思想，导数的计算，导数的应用，重点是用导数研究函数的单调性和最值，最后以不等式的证明形式给出压轴第二问，充分考查了学生的计算能力，分析能力，应用和转化能力等各种能力水平，与2011年湖南高考数学文科题极其相似.

首先分析第(Ⅰ)小题：

(ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a=2,x=1时，f′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减.

从标答看，讨论的分界点只有a=2一个，其实从学生的角度来看，往往并不是这么简单清晰.学生们一种是从定义域为(0，+∞)出发，结合f′(x)的正负，此时讨论的分界点有两个：a=0和a=2，具体解法如下：

(ⅰ)当a≤0时，f′(x)<0，则f(x)在(0，+∞)上单调递减.

(ⅱ)当0

还有一种是从二次方程的判别式出发，此时的分界点为a=-2和a=2，讨论情况如下：

(ⅰ)当-2≤a≤2时，Δ=a2-4≤0，有f′(x)<0，则f(x) 在(0，+∞)上单调递减.

本问的得分点有求导及分类讨论的各种情况说明，难点在于分类讨论的处理.学生常犯的错误有：导数计算错误，求根错误，没有注意定义域，以及单调性写反.

每次分类讨论的开始应该是寻找合理的分界点，然后按照不重复不遗漏的原则，一一分析各种情况，最后把结论相同的情况所对应的条件整合在一起，标答是最终的结果，并没有反映出学生的思维分析过程.寻找常见的分界点通常有四种可能：(1)首项系数与0比较；(2)二次函数的判别式Δ与0比较或者对数的真数与0比较，保证根的意义；(3)如果多根，根之间进行比较，确定根的大小；(4)将根与定义域比较，判断根是否要舍去.因此，解法2比解法1更常见些.

再分析第(Ⅱ)小题：

【标答】由(Ⅰ)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.

本问的得分点有：用分析法转化要求证的结果，构造辅助函数，利用函数的单调性来证明函数不等式.

该问的几何意义为：不等式的左侧是曲线上两个极值点连线的斜率，右侧是曲线在定点(1,0)处切线的斜率.

因此考点可认为是几何特征的代数化.

从构造辅助函数中的自变量来看，可以是x2，也可以是x1，甚至可以是a，但是用a作自变量时，解析式会变得比较复杂，证明如下：

由(Ⅰ)知，f(x)存在两个极值点时，a>2.

这种解法思想还是基于构造辅助函数，但是辅助函数的解析式如何选取，是根据实际情况中得到的式子而定的，最终根据辅助函数的单调性可证得与不等式等价的某个形式，结合分析法可证.