例谈立几中无棱二面角的纯几何解法

广东 李光喜

在立体几何中，有一类无棱二面角的问题，只在图形中给出了二面角的两个半平面的一个公共点，没有给出二面角的棱，学生在解答时往往因为找不到二面角的棱而感到无从下手.下面笔者举例说明这类二面角的五种纯几何求法，对培养学生的空间想象和逻辑推理能力不无帮助.

一、延长线段找棱法

分析：要求平面SCD与平面SBA所成二面角的正切值，必先确定所求二面角的平面角，而所求二面角的棱在图中未给出，故关键是先确定二面角的棱.为此，延长BA，CD相交于点E，连接SE，则SE是所求二面角的棱.下面先证明∠BSC是所求二面角的平面角.

【解析】∵AD∥BC,BC=2AD，∴EA=AB=SA，

∴SE⊥SB.

∵SA⊥平面ABCD，

∴平面SEB⊥平面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，

∴BC⊥平面SEB，∴BC⊥SE，又BC∩SB=B,

∴SE⊥平面SBC，则SE⊥SC，

故∠BSC是所求二面角的平面角.

评注：当已知二面角的两个面在图中只有一个交点，但易在二面角的两个面内找到两条相交直线时，常用办法是延长两条线段得到二面角的两个面的另一个交点，从而确定二面角的棱，再用线面垂直找出或作出平面角，从而求出二面角，这种方法我们不妨称之为延长线段找棱法.

二、线面平行找棱法

【例2】如图，ABCD为矩形，M是AB的中点，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2.

(1)求平面PAD与平面PMC所成二面角的正切值；

(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的正切值.

(2)平面PAD与平面PBC所成二面角的棱在图中未给出，不能利用上述延长线段找棱法求解，但可利用线面平行的性质定理找出平面PAD与平面PBC所成二面角的棱来解.

∴BC∥平面PAD.

又平面PAD与平面PBC相交于点P，

∴平面PAD与平面PBC相交于过点P的一条直线，

记为l，则直线l为平面PAD与平面PBC的棱，

根据线面平行的性质定理可知BC∥直线l，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，

又AB⊥BC，AB∩PA=A，

本文提出一种新型的隧道位移预测方法，在小波变换下，将模糊控制和Elman网络结合，实现了对隧道位移的预测，与其他方法相比，主要有以下优点：

∴BC⊥平面PAB，故直线l⊥平面PAB，

∴PA⊥直线l，PB⊥直线l，则∠BPA是所求二面角的平面角,

评注：当已知二面角的两个面在图中只有一个交点，且在一个面内有一条直线和另一个平面内的一条直线互相平行时，则可用线面平行的性质定理找出所求二面角的棱，从而转化为有棱的二面角去求，这种方法我们不妨称之为线面平行找棱法.

三、构造长方体(正方体)找棱法

【例3】如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，求平面PAD与平面PBC所成二面角的正切值.

分析：平面PAD与平面PBC所成二面角的棱在图中未给出，可将图形补成以AP，AB，AD为棱的长方体ABCD-PMNE.

【解析】补形后的图形如图，易知PE就是平面PAD与平面PBC所成二面角的棱.则∠BPA是所求二面角的平面角,

在Rt△PBA中,PA=1,AB=2，

评注：当已知二面角的两个面在图中只有一个交点，且已知图形可以看成长方体(正方体)的一部分时，则可构造长方体(正方体)找出所求二面角的棱，从而转化为有棱的二面角去求，这种方法我们不妨称之为构造长方体(正方体)找棱法.

四、平移平面法

【例4】如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=3，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值.

分析：平面PAD与平面PBC所成二面角的棱在图中未给出，利用例1中的延长线段找棱法，不能作出二面角的棱，这时可通过平行移动平面PBC的办法求二面角.为此，在平面PCD内，过D作线段FD与PC平行且相等，连接PF，AF，易证平面FAD∥平面PBC,故平面FAD与平面PAD所成二面角的大小等于平面PAD与平面PBC所成二面角的大小.

【解析】取AD的中点E，连接PE，EF，易证FA=FD，

又PA=PD，

∴PE⊥AD，FE⊥AD，

故∠PEF是平面FAD与平面PAD所成二面角的平面角.

评注：当已知二面角的两个平面在图中只有一个交点，且在一个平面内有一条直线和另一个平面内的一条直线互相平行时，常用办法是平移其中一个平面和另一个平面相交，从而转化为有棱的二面角去求，这种方法我们不妨称之为平移平面法.

五、射影法

【例5】如图，正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B，C到平面α的距离分别为4和2，B，C在平面α的同侧，求平面ABC与平面α所成二面角的余弦值.

【解析】过B，C分别作BE⊥平面α于E，

CF⊥平面α于F，则BE∥CF，

且BE=4，CF=2，∵BA=AC=10，