马尔科夫链在保险精算中的应用

1 何谓马尔科夫链

马尔可夫链，是指具有马尔可夫性质的离散事件随机过程，它可以将无规则的运动用数学描述出来该过程中，在给定当前信息的情况下，以前的信息对于预测将来是无关的。马尔科夫性：过程在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t>t0所处状态的条件分布过程在时刻t0之前所处的状态无关的特性成为马尔科夫性或无后效性。即：过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。具有马尔科夫性的随机过程成为马尔科夫过程。时间和状态都是离散的马尔科夫过程。马尔可夫链描述了一种状态序列，其每个状态值取决于前面有限个状态。马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量的一个数列。我们熟悉的泊松过程和维纳过程（布朗运动）都是马尔科夫过程，泊松过程是时间连续状态离散的马尔科夫过程；维纳过程是时间状态都联系的马尔科夫过程。

2 马尔科夫链在保险精算中的应用

在世界经济飞速发展的情况下,几乎所有的经济行为都受到一些潜在的不可预知的风险的影响,特别是对金融保险业来说,预测经济发展中潜在的不可预知的风险因素可能造成的损失是非常重要的。风险因素是无处不在的,而经济上的损失取决于这些风险影响的规模和范围。如何能在面对不同的风险因素时,尽量减少经济损失——这正是精算学的关注所在,基于马尔可夫链在精算学中的应用,并利用实验数据和历史数据来预测我们感兴趣的量，进行描述性统计，然后准确的预测风险,引导人们采取必要的管理控制措施,控制风险,减少不必要的经济损失。

保险精算学是综合运用数学工具,如概率论和数理统计,同时结合金融和经济学的原则在保险、金融、投资和金融等领域预测、分析、评估和管理风险的学科。保险精算学对保险中的一些问题进行了定量分析和研究,通过分析未来的不确定性,为保险公司的经营提供了重要的依据和方法。经典统计只使用样本信息,马尔可夫链将预先信息与信息样本结合起来进行统计推断。面对复杂的经济现象,我们往往缺乏反映这一复杂经济现象的数据,但我们可以利用马尔可夫链从我们自己的经验信息中推断出数据的有限信息。它与经典的统计学方法的差别在于是否使用先验信息(经验与历史资料)。在现代保险精算中以马尔科夫链为基础的马尔科夫链蒙特卡罗方法受到极大重视。马尔科夫链蒙特卡罗方法的基础理论为马尔可夫过程，在马尔科夫链蒙特卡罗算法中，为了在一个指定的分布上采样，根据马尔可夫过程，首先从任一状态出发，模拟马尔可夫过程，不断进行状态转移，最终收敛到平稳分布。把马尔可夫链想象成一台机器，它随机地选择一个状态作为初始状态，随后按照上述规则随机的选择后续状态。运行一段时间后，就会产生一个状态序列s1,s2,s3…st,…。看到这个序列，不难算出某个状态m1的出现次数以及从m1到m2的转换次数，从而估算出概率。马尔科夫链蒙特卡罗方法首先要建立恰当模型，然后设计试验方法，在运用马尔科夫链从一个或多个概率分布中重复生成随机数，最后分析模拟结果，从而模拟更加全面的风险可能情况，并给出相应的概率参考，使结果更加接近真实环境，使计算更加便捷。经典的统计学只用样本信息,而马尔科夫链把先验信息与样本信息结合起来用于统计推断之中人类在面对一种复杂经济现象时,我们通常缺少反映这种复杂经济现象的数据,但我们可以根据自己的经验信息结合有限的数据资料利用马尔科夫链作出推断。在保险精算学中正是通过这一点,在实践当中基于马尔科夫链人们可以利用各种先验信息,结合实际数据资料预测未来风险。在保险实务中,尤其是在非寿险中,当一个保险公司在市场上只有少量的关于他自己的数据时,只利用这些仅有的数据去估计它自身的索赔频率时,这种估计就很不确定,相应的风险就比较大;而当一个保险公司有大量的经验信息时,并利用一些经验数据进行估计,这时就可能得到非常精确的估计结果,这时相应的风险就小,这种结合是人类考虑协调问题的一种。在精算实践中,人们可以基于马尔可夫链使用各种先前信息来预测未来的风险和实际的数据。它使人类把经验信息与系统的数据相结合,得到我们感兴趣的量的后验描述性统计量,以此作为行动的依据。通常先验信息或经验在行动中起着指导性的作用。在非寿险的一些领域中,保险公司往往难以获得足够的样本,或者仅有的理赔记录不足以反映实际情况时,我们可以人为的加入一些主观判断,来预测风险减少不必要的经济损失,在这种情况下,一个急需处理的问题是只要保险公司一得到一些新的可信赖的数据,就立即增加这些新的信息,利用马尔科夫链来修正先前的估计。它使我们能够将经验信息与系统数据相结合,并获得我们感兴趣的量的后续描述性统计。在一些非寿险领域,保险公司往往发现很难获得足够的样品,或者如果唯一的索赔登记不足以反映实际情况,我们可以人为地增加一些主观规定,以预测风险和减少不必要的经济损失,一旦保险公司获得了一些新的可靠数据,就增加了新的信息可使用马尔可夫链来修正以前的估计。更有利于保险公司的利润最大化,推动其业务和扩大扩张和发展。

[1]姜昱汐.保险精算的信息熵方法[J].大连：大连理工大学，2005.44-55

[2]张春雷，张亚男.浅谈蒙特卡罗方法在保险上的应用[J].商业文化·财金视点，2008（1）

[3]姚海波.精算学理论发展综述[J].上海保险，2006（2）：53-56

[4]吕思宇.带马尔科夫链的随机最优控制问题及其在金融中的应用[C].山东大学 ,2017-05-21

[5]汲剑锐.马尔科夫链应用的一些探讨[J].华中师范大学,2012-05-01