浅谈如何利用几何图形辅助解决古典概率中的相关问题

摘要：本文主要讨论利用几何图形作为辅助工具来解决古典概率中所涉及的问题，几何图形作为解决概率问题行之有效的手段之一，它可以将抽象的古典概率问题转变为更加具体化的初等几何图形问题，使用几何图形来考虑和解决古典概率问题，可以使得问题更加直观化并且便于理解和考查，从而大大提高古典概率问题的解题效率，并对培养数学思维的成长大有帮助。

关键词：几何图形 概率 应用

数学作为一门应用性较强的科学，无论是运算方式还是逻辑思维都是连续统一和严谨完整的，虽然近现代数学有许多分支学科，但是并不是说每一门学科都是独立存在的，它们之间存在着千丝万缕的联系。通常在考查和研究其中一门分支学科时，往往要运用其他几门学科甚至是更多的学科知识来相互配合。举例说明，空间向量既是属于代数知识又是属于几何知识，作为线性代数与解析几何之间相关联的纽带变量，通常考查几何问题的时候，可以通过空间向量的变换，将几何问题转换为代数问题，从而更容易计算和解决几何问题。所以说通过某一些变换的过程，将代数问题通过变换，用几何学的相关知识去解答；原本是几何问题也可以通关转化，利用代数的运算过程去解决；原本是概率和数理统计的问题，通常也可以转化成线性代数或者几何知识去解决。本文主要讨论如何运用几何图形对概率问题进行考量，深入了解转变转化的知识和精髓，从而提升解决古典概率问题的效率。

一、利用几何图形解决古典概率问题的基本思想及原理

解决任何数学问题的时候都可以利用替换或者是变化的手段去解决。就像解决立体几何问题一样，往往可以通过空间向量作为联系纽带将空间几何的问题转化为线性代数的问题。所以说概率论的问题在某种特定的情况下也可以通过对测度的变化，把经典概率问题转变为几何图形的问题，从而通过几何图形中线段的长度、区域的面积等计量单位对已知的问题进行测算，并最终得出结果[1]。所以说，利用几何图形作为辅助手段对古典概率问题进行考查研究，究其基本思想和基本原理，就是在几何图形中选取最符合概率原题的一组或几组图形，把原有的概率测度，转化为计量几何图形长度面积或者体积的计算问题，最终解决概率问题，运用的手段与方法，可以类比为等量代换原理。其基本思想是：如果一个随机现象的样本空间Ω充满某个区域，其度量（其中包括长度、面积或者体积等等）大小可以由S（Ω）表示；并且任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的，例如：在样本空间Ω中有一单位正方形A和两条直角边长分别为1和2的三角形B，而点落在A和B的区域内是等可能的，因为A和B两个区域的面积相等均为单位1；以事件A为例子，若事件A为Ω中的某个子区域，且其度量大小可由S（a），则有P（A）=S（a）/S（Ω） 。

这种概率被称为几何概率，它满足概率的公理化定义。

二、利用几何图形解决古典概率问题的几个简单例子

例题一：在区间[0，1]中任意取两点，求取发生两点的平方和小于1的概率？

解题思路：考虑任取两点分别为x，y，那么根据题目的意图可以得知，样本空间Ω={（x，y）|0≤x，y≤1}，假设A为平方和小于1的样本点集合，那么A={（x，y）|x2+y2<1}。

根据题目给出的条件可以得到以下图形（图形1）。

根据题意，正方形的整个面积可以代表样本空间Ω，并且可以得到整个正方形的面积为1，四分之一园可以表示A的样本点集合，并且可以求得半圆的面积为π/4，所以可以得出在区间[0，1]中任意取两点，求它们的平方和小于1的概率π/4.原题目通过几何图形辅助被解出。

例题二：甲、乙两人约定某天在1：00到2：00点独立地随机到达某地会面，先到达者等候20分钟后离去，求这两人能够相遇的概率？

解题思路：考虑甲、乙两人在这一个小时之内的任何时间点都可能到达会面地点，用x，y分别表达甲、乙到达的时间，则样本空间应该表示为Ω={（x，y）|0≤x，y≤60}，那么根据题意，样本点（x，y）等可能的落在样本空间Ω中，那么用A表示甲、乙两人相遇，则A={（x，y）|-20≤（x-y）≤20，（x，y）∈Ω}，那么可以做出如下的几何图形（图形2）。

其中实心黑色区域为样本空间A，正方形为样本空间Ω，根据题意可以知道，正方形面积边长为60，整个正方形的面积为3600，实心黑色区域面积为2000，那么发生该事件的概率可以确定为P（A）=2000/3600=5/9，即可得知，甲、乙两人能够相遇的概率为5/9.

三、结语

古典概率的几何图形辅助解题方式，应该说最早的雏形是维恩图（图形3）

最初维恩图是用来直观理解集合概念的，概率论又是以集合为最基本的测度单位的，所以维恩图也常常被用作讲解和阐述概率论与数理统计相关知识的辅助工具，后来经过不断的研究和发展，对维恩图形不断的加以变换和延伸，并且不断地完善证明和推理过程，逐步的建立起了用几何图形解决概率问题的完备体系。然而并不是所有的古典概率问题都可以使用几何图形辅助解决的，运用几何辅助图形解决的古典概率问题需要满足一定的先决性条件，既要满足几何度量和概率样本空间度量的转换，方可使用几何图形进行辅助性的解题，而且在解题过程中还要遵循具体问题具体分析的解决方法。

参考文献：

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，2005.

（作者简介：余葛薇，新疆师范大学附属中学，高中学历，研究方向：數学。）