关于复指数函数的定义

段江梅

（昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000）

1 引言

在复变函数中，复指数函数ez是最主要也是最简单的初等函数.因此复指数函数的定义及其性质是初等函数中的重点研究对象.在经典教材钟玉泉编《复变函数论》及B.B.沙巴特编《复分析导论》中给出指数函数的定义.

定义1 对于任何复数z=x+iy，用关系式

来规定指数函数ez.

定义2 用极限关系来定义指数函数ez

下面给出这两种定义的构造形式.

2 复指数函数的定义

2.1 定义1的构造形式

（1）当y=0 时，f(z)=ex，这个函数就是实指数函数.

（2）f(z)在z平面上解析，且

这四个偏导数在z平面上处处连续，且满足方程，因此在z平面上解析，并且实指数函数具有类似的性质.

（3）进一步，还易验证：

实指数函数同样具有类似的性质.

事实上，由条件（1）（3）知

又因f(z)在z平面上解析，故由C.-R.方程得

这是二阶常系数齐次线性微分方程，方程的通解为

其中c1，c2为任意常数.

2.2 定义2的构造形式

像在实分析中一样以极限关系来定义指数函数ez：

下面证明这个极限对于任意z∈C的存在性.

为此令z=x+iy，并注意到，由幂的提升规律有

由此看出，存在

这意味着极限（4）存在，并且可以写为极坐标形式：