问题驱动 探究思考 促进生长
——以“轴对称图形”习题教学为例

2018-12-04 10:46凯,陈
中国数学教育(初中版) 2018年11期
关键词:线段习题图形

孙 凯,陈 锋

(江苏省苏州市阳山实验初级中学;江苏省无锡市太湖格致中学)

数学课堂教学活动实质上是思维活动的教学,是教师以问题驱动学生自主探究,在探究中引发数学思考,在思考中促进学生思维进一步发展的过程.数学课堂教学的实效性有赖于问题的精心设计,“好问题”成就好课堂.在习题教学时,教师要基于对教材习题设计意图的理解,注重挖掘教材习题背后所蕴含的教学价值,创造性地使用教材,设计“好问题”,以问题驱动学生积极主动地参与数学探究活动,引发学生的深度思考,发展学生的数学能力,提升数学素养.本文以苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册(以下统称“教材”)第二章“轴对称图形”的习题教学为例,展示对教材习题跟进问题探究的设计与意图,供同行研讨交流.

一、用动态的视角设计问题探究

教材上提供的习题是以静态的形式呈现的,分析解读习题设计目的是教师的必修课.“用教材教”与“教教材”是我们经常讨论的话题,如何做好“用教材教”是必须重视的课题.在习题教学中,教师要引导学生用动态的视角去观察与思考教材上的习题,要以问题驱动的方式组织学生一起参与有意思的探究之旅,让学生自然生长知识.

例1如图1,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G.求△AEG的周长.(选自教材习题2.4第1题.)

图1

解析:由点E,G分别在AB,AC的垂直平分线上,得EA=EB,GA=GC.所以△AEG的周长为AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC=7.

此题主要考查学生对线段垂直平分线性质的掌握情况.要解决的问题是求△AEG的周长,学生可以运用转化的方法,获得△AEG的周长等于线段BC的结论,使问题得以解决.

问题探究设计如下.

问题1:如图2,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,GE=2,求△AEG的周长.

图2

问题2:如图3,在△ABC中,BC=5,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC的延长线于点E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,GE=6,求△AEG的周长.

图3

图4

问题3:如图4,在△ABC中,BC=3,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC的延长线于点E,AC的垂直平分线交AC于点F,交CB的延长线于点G,GE=8,求△AEG的周长.

问题4:探究图2、图3和图4中,△AEG的周长与BC,GE的数量关系.

问题5:在图1~图4中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G.若∠BAC=n°,求∠GAE的度数.

【设计意图】笔者在观察学生用尺规作图作三角形三边垂直平分线时,发现邻边的两条垂直平分线与第三边的交点有不同的结果,有必要做进一步探究.如图2、图3、图4,在不同的图形中,同样的问题具有很高的探究价值.原题中线段AB,AC的垂直平分线清晰可辨,学生易于发现所求△AGE的周长与BC之间的数量关系.图形变化后,线段出现交叉、复合等现象,给学生的思维活动带来新挑战.在完成相关边长数量关系的探究后,再以“角”的视角去审视图形,自然生成新的数学问题,学生在自主探究中,深刻体会教材习题背后所蕴含的数学价值,激发学生的求知欲,开阔学生的探究视野,使思维之花精彩绽放.

二、用增添的视角丰富问题探究

习题教学中,对原问题或原图形增添一些元素,可以丰富问题探究的内容,增加问题探究的趣味性,引发学生深度学习.

例2如图5,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A,C,E在一条直线上,AD与BE相等吗?证明你的结论.(选自教材习题2.5第10题.)

图5

解析:结论AD=BE.

理由如下:由△ABC,△CDE都是等边三角形,得AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°. 于是∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.从而得△ACD≌△BCE.所以AD=BE.

此题是在学习等腰三角形的轴对称性后呈现的习题,主要考查学生对等边三角形性质的掌握情况,引导学生根据等腰三角形的性质构造三角形全等,探究线段的数量关系,其中△ACD≌△BCE是探究该类问题的基础.

问题探究设计如下.

问题1:如图6,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A,C,E在一条直线上.

图6

(1)你还能找到全等的三角形吗?写出来并说明理由.

(2)求AD与BE相交时∠APB的度数.

(3)连接FG,判断FG与AE的位置关系,并说明理由.

(4)连接PC,证明PC是∠APE的平分线.

(5)分别在AD与BE上取中点M,N,连接CM,CN,MN,判断△CMN的形状,并说明理由.

问题2:如图7,将△CDE围绕点C顺时针旋转一定的角度,问题1中的哪些结论仍然成立?如果成立,试说明理由.

图7

图8

问题3:如图8,将等边三角形换为等腰直角三角形,你能获得哪些结论?试说明理由.

【设计意图】在研究图5中相关线段和角的数量关系的基础上,问题1增设与某些线段或线段交点有关的问题,探究提出的新图形、新要素,解决新问题.这些问题能充分发挥教材的价值,驱动学生自主探究和思考.问题2引导学生用运动的视角去研究图形,即把图形旋转变化,研究运动变化后的图形中蕴含的形变与量变,揭示图形中某些元素间的本质关系,促进数学思维二次生长.问题3把等边三角形换成等腰直角三角形,教学时也可以引导学生尝试换成正方形、等腰三角形等图形,意在引导学生通过类比的方法发现这一类图形问题的数学本质,以此发现基本规律,达到触类旁通的目的.

三、用串联的视角整合问题探究

例31.在七年级下册“证明”一章的学习中,我们曾做过如下的实验:画∠AOB=90°,并画∠AOB的平分线OC.

(1)把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上,使三角尺的两条直角边分别与OA,OB相交于点E,F(如图9(1)).度量PE,PF的长度,这两条线段相等吗?

(2)把三角尺绕点P旋转(如图9(2)),PE与PF相等吗?通过实验可以得到PE=PF的结论,现在请你证明这个结论.

图9

2.已知:如图10,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中点,点E在AC上,点F在BC上,且AE=CF.求证:DE=DF.

图10

第1题与第2题分别选自教材习题2.4第11题与习题2.5第12题.

第1题再现七年级时学生曾经做过的实验,获得PE=PF的结论,并用已学的数学知识证明结论.学生运用角平分线的性质,构造直角三角形全等,证明结论恒成立.第2题是围绕等腰三角形的有关性质编写的习题,学生会通过证明△AED≌△CFD或△CED≌△BFD来解决问题.

问题探究设计如下.

问题1:在第2题中,DE与DF是否垂直?说明理由.

问题2:在第2题中,若把条件AE=CF更换为∠EDF=90°,其他条件不变,求证:DE=DF.

问题3:如图11,∠AOB=120°,OC是∠AOB的平分线,三角尺60°角的顶点落在OC的任意一点P上,使三角尺的两条边分别与OA,OB相交于点E,F,PE与PF还相等吗?如果∠AOB=135°,用三角尺45°角的顶点落在OC的任意一点P上,结论是否还成立?你有什么发现?

图11

【设计意图】此例中第2题与第1题有诸多联系,第1题中线段PE与PF间的关系是联系它们的纽带,把两道习题串联在一起,精心设计问题,以求让学生融会贯通、事半功倍.问题1引导学生探究线段数量关系时还应关注线段的位置关系,把握最近发展区,搭建思维的“脚手架”.逆向思考是数学中常用的一种思维方式.问题2与问题1是互逆的,能有效训练学生逆向思考的能力.这与教材上阅读材料“倒过来想”的价值是一致的.问题3是开放性问题,给学生预留足够的探究空间.教学时,教师可以继续追问“当∠AOB与∠EPF满足什么数量关系时,PE=PF?”等问题.学生通过推理、概括、化归等数学方法,得到一些有趣的结论,在提升数学思维能力的同时收获自信.

四、教学反思

1.由静到动,在动态中寻找好问题

著名数学家波利亚曾形象地指出:好问题同种蘑菇类似,它们都成堆生长,找到一个后,你应当在周围找一找,很可能附近有好几个.教材属于纸质媒介,习题的呈现方式只能是静态的形式,这样的静态形式不利于我们研究图形运动变化背后的数学知识.教师要用运动变化的视角寻找习题的潜在价值,充分利用平移、翻折、旋转等运动的方式,从不同角度、不同层次或不同侧面对习题进行开发,设计探究性问题,使问题得以拓展延伸,开阔学生视野,提升学生的数学素养.教师是教材的使用者,更是教材的创造者.习题教学中教师应思考如何寻找问题的生长点,深挖教材,寻找好问题,充分发挥教师的主导作用,驱动学生经历由静到动的问题探究,加深学生对数学知识的理解与掌握.

2.由少到多,在增添中开发好问题

叶圣陶先生说过,教材只能作为教课的依据,要教得好,使学生受益,还得靠教师的善于运用.要做到善于运用教材,教师要做好两方面的工作.一方面,教师要基于习题研究提升问题设计的广度.教师应深入钻研《义务教育数学课程标准(2011年版)》、教材、教师教学用书等文本资源,正确理解教材的编写意图,这是用好教材的基础.教师应整体把握教材上编排的习题,研究习题之间横向和纵向的联系,挖掘习题之间相互关联的潜在教学价值.在进行习题教学设计时,通过增加研究要素把单元化问题探究引向多元化问题探究.注重同一问题情境下由边的求值问题拓展到角的求值问题,由角的求值问题拓展到边的求值问题,由几何图形的形状关系拓展到线段的位置关系,由线段的数量关系拓展到线段和、差关系或图形的面积关系等,以此提升问题设计的广度.另一方面,教师要利用增加研究要素提升问题设计的深度.基于习题的研究比较,发现习题背后相关联的问题,设计具有层次性或开放性的问题.例如,以原习题为背景增加边或角等要素,生成新图形、新视觉、新问题;将原题中的一般条件改为特殊条件,使题目具有特殊性;将原题中的特殊条件改为一般条件,使题目具有一般性等,以此引发学生深度思考、深度学习,使问题探究由“熟”到“透”,实现数学思维的深度发展.

因此,在习题教学时,教师既要遵循教材的编写意图,体现习题的作用与价值,又要善于根据学情与教学的需要,对习题进行创造性处理,精心设计具有追踪性、拓展性和延伸性的问题,提升问题的深度与广度,使学生的探究能力、应变能力和思维能力得到有效训练与发展.

3.由内到外,在深化中挖掘好问题

教材内容的编写既要面向全体学生,又要满足学生的不同需求,使不同的学生在数学上得到不同的发展,还要便于教师发挥自己的创造性.教师应用心领会教材的精髓,灵活使用教材中的习题.教材上配置的习题注重的是与所学内容的协调性,其功能是帮助学生巩固、理解所学知识内容,但受限于所涉及知识内容范围的要求,教师设置的问题要具有一定的基础性和启发性.习题教学中应注重基本图形(基本模型)的提炼与应用,依托基本图形,设计串联式问题,引导学生发现数学知识间的联系,深化学生对数学思想方法的理解.以习题为背景的问题设计应关注基本图形的研究与延伸,如“手拉手”模型、“一线三等角”模型、“K字”模型等.依托基本图形,有利于设计高质量的层次性问题、开放性问题.在习题教学时,教师可以结合自己的理解与分析,就同一个问题情境提出不同层次的问题或开放性问题,进一步挖掘习题中蕴含的教学价值,以问题驱动探究的方式,帮助学生积累活动经验,学会数学思考,生长数学思维.

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