一道中考题的妙解赏析及教学导向分析

毛大平

（浙江省杭州市富阳区永兴中学）

一、试题呈现与分析

题目（2017年浙江·杭州卷）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=(x+a)(x-a-1)，其中

（1）若函数y1的图象经过点(1，-2)，求函数y1的表达式；

（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

（3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m

此题考查了含参数二次函数的图象和性质，其中第（1）小题主要考查学生求解二次函数解析式的方法，同时蕴涵整体思想；第（2）小题主要考查函数图象与函数解析式之间的数形转化，交点坐标与方程组解之间的数形转化；第（3）小题主要考查二次函数背景下求解函数增、减性问题的方法.整道试题的求解关键是在数形结合思想下，理解在参数a的变化过程中对称轴直线是不变的.

二、妙解赏析

1.第（1）小题的解法与评析

解法1：由题意，得(1+a)(1-a-1)=-2，

即a(a+1)=2.

因为y1=x2-x-a(a+1)，

所以y1=x2-x-2.

【评析】若学生发现a(a+1)=2是一个整体，代入y1=x2-x-a(a+1)后可快速求解.

解法2：由题意，得(1+a)(1-a-1)=-2，

即a2+a-2=0.

解得a1=-2，a2=1.

所以y1=(x-2)(x+1)=x2-x-2.

【评析】若学生没有发现a(a+1)=2是一个整体，通过解一元二次方程a2+a-2=0，将a的两个解代入y1后会惊喜的发现是同一个结果，和方法1有异曲同工之妙.

解法3：由题意，得函数y1的对称轴为直线.

因为函数y1过点(1，-2)，

所以函数y1也过点(0，-2).

所以y1=x(x-1)-2=x2-x-2.

【评析】由y1=(x+a)(x-a-1)可得其与x轴的两个交点坐标分别是(-a，0)，(a+1，0)，则二次函数图象的对称轴是直线.(1，-2)关于直线的对称点是(0，-2)，可以快速求得解析式为y1=x(x-1)-2=x2-x-2.

解法4：由题意，可得函数y1的对称轴为直线.

2.第（2）小题的解法与评析

解法1：由题意可知，函数y1的图象与x轴交于点(-a，0)和(a+1，0).

当y2的图象过点(-a，0)时，得a2-b=0；

当y2的图象过点(a+1，0)时，得a2+a+b=0.

【评析】因为y2与y1经过x轴上同一点，先求出函数y1的图象与x轴交于点(-a，0)和(a+1，0)，将这两个点分别代入y2就可以得到a，b的两个关系式.

解法2：因为，

所以y2=ax+b的图象与x轴的交点是.

因为y1的图象过点

【评析】因为函数y2与y1的图象经过x轴上同一点，先求出函数y2=ax+b的图象与x轴的交点是，将其代入y就可以得到a，b的两个关系式.1

解法3：因为y1与y2的图象经过x轴上同一点，

设y1与y2的图象都经过点(m，0)，

【评析】抓住y1，y2图象经过x轴上一点，则可以设这个点为(m，0)，将其代入两个函数关系式可以得到关于m的含参数方程组，通过消元可以得到方法2中的算式.

3.第（3）小题的解法与评析

解法1：由题意知，函数y1的对称轴为直线.

所以点Q(1，n)与点(0，n)关于直线对称.

因为函数y1的图象开口向上，

当m

所以0

【评析】学生在解答时利用二次函数图象的轴对称性和增减性，借助数形结合，可以快速得出答案.

解法2：由题意，可得x0-a(a+1)，n=(1+a)(1-a-1)=-a(a+1).

因为m

解得0

【评析】抓住m

解法3：由题意知，函数的对称轴为直线.

因为抛物线开口向上，

所以离对称轴越近，函数值越小.

因为点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1上，且m

所以0

【评析】因为二次函数y1=(x+a)(x-a-1)的图象开口向上，当图象上的点与对称轴距离越近，则函数值越小，所以当m

三、教学导向分析

1.函数教学中重视概念和性质的理解

这道中考试题考查了众多关于函数概念和性质的知识.例如，知识点1：在引进参数a后对变量的识别；知识点2：根据题目条件灵活求解二次函数解析式；知识点3：函数解析式和函数图象之间的相互转化；知识点4：利用二次函数的增、减性解决问题.

若要较好地掌握函数概念和性质，灵活地解决这道中考试题，教师在函数概念教学中需要创设多个真实的生活情境，让学生感受“在一个变化过程中有两个变量x和y，当x确定时，y也唯一确定，我们就说y是x的函数”，这样学生就能比较好的理解和分清知识点1中的参量和变量.

在二次函数三种解析式的学习过程中，教师需要和学生一起理清对二次函数一般式的约定和将二次函数一般式进行因式分解得到二次函数交点式，以及将二次函数进行配方得到顶点式的演变过程，这样学生才会清楚地理解每种解析式的特点，达到知识点2中灵活求解二次函数解析式的目的.

学生在八年级上学期学习的第一个具体函数是一次函数，在学习从解析式法到图象法解决一次函数问题的过程中，教师若能和学生一起借助几何画板软件，通过对满足解析式的点进行追踪，观察它的运动轨迹，体会函数的完备性（坐标满足函数表达式的点在函数图象上）和纯粹性（图象上的点的坐标满足函数表达式），则能比较好的理解知识点3，实现题目条件从“形”向“数”的转化.

在学习二次函数的增减性后，教师可以从特殊点函数值的大小比较入手，得出二次函数中函数值大小比较的四种常用方法，即代入法、图象法、距离法、作差法，并引导学生进行条件变换，将具体的点的横坐标变成一个范围，再比较函数值的大小，发现用到的是同样的方法，这样就能真正解决知识点4的问题.

教师只有重视对函数的概念和性质的教学，才能让学生很好地理解函数的本质，而不是一味用解析式法去求解函数问题，而偏废了对函数内容的教与学.

2.课堂教学中重视让学生建立知识之间的关联性

在数学课堂教学中，教师要重视知识之间的联系，并且通过教学让学生建立起知识之间的关联性，使学生在回答问题时能找到越来越多与解题相关的特征，将多个零散的知识点联系起来，形成完整的知识结构来回答或解决较为复杂的问题，并在此基础上提出更多问题，学习更多的抽象知识.

此题中y1=(x+a)(x-a-1)是一个含参二次函数，它代表一簇二次函数，每取一个a，就有一个特殊的二次函数，但是这一簇二次函数中蕴含着不变的量，那就是对称轴都是直线.教师在教学过程中需要引导学生发现并得出在变化过程中不变的量，这样，对第（1）小题，学生就容易想到运用解法3的两根式和解法4的顶点式求解析式，这也是第（3）小题中解法1和解法3解决问题的关键.在第（2）小题的解题过程中，三种解法都需要将二次函数由“形”向“数”进行转化，这需要学生在学习函数图象的过程中建立起函数解析式法和图象法的关联，利用数形结合理解好函数的完备性和纯粹性.在第（3）小题的解题过程中，学生需要将二次函数的增减性和函数值的大小比较联系起来，将比较大小的四种方法相互联系起来，将已知自变量的取值范围求函数值的大小和已知函数值求自变量取值范围的这种互逆求法联系起来.这样的学习才是基于理解的学习，能够促进学生思维的发展，提高学生解决问题的能力.

3.问题解决过程中用一题多解提升数学知识的学习水平

一题多解就是通过不同的解题方法、运算规律和思维方式解答同一道题目.在对第（1）小题一题多解的过程中，可以加深学生对二次函数一般式、交点式和顶点式“是什么”和“为什么”的理解.“是什么”包括对各种二次函数解析式知识意义的理解，能从不同角度去认识知识的性质，知识的类属，以及知识的背景；“为什么”是对知识之间逻辑关系的理解，即各种二次函数解析式之间的联系和因果关系.只有通过对不同解法的思考，才能达到对知识之间逻辑关系的理解，加强学生知识迁移的能力，有助于学生把理解的知识、形成的基本技能迁移到新的情境中去，促进新知识的学习或解决不同情境中的问题.同时，一题多解的训练还可以提升学生知识迁移的能力，学生利用一题多解过程中积累的数学活动经验，能够对问题进行变式，从而得到一些新的问题和结论.例如，通过第（2）小题一题多解的训练，可以提出如下的变式题：两个一元二次方程x2+kx-1=0与x2+x+k-2=0有且仅有一个相同的实数根，求k的值.此外，还可能实现方法的突破，用不同的方法解决一些常规的问题，形成数学学科思维.例如，通过对第（3）小题一题多解的训练，学生可以积累起用特殊值法、图象法、作差法、距离法这四种方法求解二次函数背景下函数值大小比较问题的经验，这样学生就会很容易发现，若将第（3）小题的条件和结论互换，变成“在平面直角坐标系中，设二次函数y1=(x+a)(x-a-1)，其中a≠0.已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若0