国内三种《复变函数》教材的比较与分析

汤 获，王晓英

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

《复变函数》是高等师范院校数学专业的一门重要基础课程，也是理工科类院校力学、物理学、天文学等专业的必修课程，其教材选用的好坏直接关系到该课程的建设质量和水平，也影响到学生的学习效果.目前，国内《复变函数》教材版本较多，有20余种，但经典教材并不多见.例如，钟玉泉[1]主编的《复变函数论》（第四版，2013年8月出版）（以下简称教材1），曾获高等学校优秀教材二等奖；余家荣[2]主编的《复变函数》（第三版，2000年3月出版）（以下简称教材2），是面向21世纪课程教材和普通高等教育“九五”国家级重点教材；路见可、钟寿国、刘士强[3]主编的《复变函数》（修订版，1999年7月出版）（以下简称教材3），是理工科专业热门教材.虽然这些教材在内容编排上几乎一致，但其在适用对象、例题和练习题的设置以及专业名词的应用上有本质的区别.本文以上述三种《复变函数》教材为例，从教材适用对象、内容编排、例题、练习题以及专业名词译名等几个方面进行分析和比较（见表1-7），指出其区别和联系，为不同专业的师生合理选用该教材提供一些理论依据.

1 教材适用对象的比较

由表1可以看出，教材1主要适用于高等师范院校数学专业学生，而教材2和教材3主要适用于非数学专业理工科学生.

表1 三种教材适用对象的比较

2 教材内容的比较

由表2可以看出，三种教材在内容编排上几乎一致，都是从复数和复变函数的基本理论出发，内容由浅入深，环环相扣，做到理论联系实际，符合学生的学习习惯，但它们之间也存在区别：章节安排上，教材1和教材3都有九章内容，而教材2只有八章内容.内容编排上，教材1不但介绍了留数的理论知识，还给出了留数理论的某些应用；教材2和教材3都是将解析函数的幂级数展开和洛朗展开统一归为一章，相对于教材1来说介绍过于笼统.另外，教材3还将解析函数在平面场中的应用单独作为一章，这充分体现了该教材非常注重复变函数理论的应用.

表2 三种教材内容的比较

3 例题和练习题的比较

3.1 例题、练习题和思考题的数量

表3 三种教材中例题和练习题总量统计表

从表3可知，教材1中例题的数量最多；教材3中习题数量最多，教材1次之.教材1和教材3中思考题数量差别不大，但设置顺序有所不同，教材1中思考题是直接设置在某个定义、定理或推论证明之后，而教材3是单独设置在每章练习题之前.

3.2 例题和练习题的数学认知水平

一般地，我们把学生对例题和练习题的数学认知水平划分为四个层次[4].

水平1:计算—操作性记忆水平.根据教科书要求的步骤或方法进行简单的计算.这里，我们将与例题算法相同或相似的练习题都归为水平1.例如，教材[2，第7页]中例题3：设z1及z2是两个复数，求证教材[2，第 13 页]中的习题 1（5）：设 z1及 z2是两个复数，求证：

水平2:概念—概念性记忆水平.按照某些概念或定义进行简单的识别活动.例如，教材[1，第6页]中例题1.9：求复数的实部、虚部和模；教材[3，第 8 页]中习题 1.1（2）：求 1+i和 -i的n次方根.对于这两题，只要学生掌握了复数的实部、虚部、模以及方根的定义就能计算出来.

水平3:领会—说明性理解水平.对于较复杂的问题，我们在理解了概念和步骤的基础上，选择合适的解题方法，再灵活运用所学知识来进行简单的推理.这里，我们把与例题相近或形式不同的练习题都归为水平3.例如，教材[1，第131页]中例题3.15：验证u(x,y)=x3-3xy3是平面上的调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z)，使满足f(0)=i；教材[2，第 85 页]中习题 4（16）：设函数 f(z)在区域 D内解析，证明：如果对某一点z0∈D，有f(n)(z0)=0，n=1,2,……，那么，f(z)在D内为常数.

水平4:分析—探究性理解水平.对于比较复杂或综合性强的问题，我们需要具备较高层次的数学认知水平和综合分析能力来创造性地解决问题.这里，我们将与例题差别较大、需要综合更多的数学知识和计算方法或没有现成解决方法的习题都归为水平 4.例如，教材[1，第 143 页]中习题 3（12）：如果在 |z|＜1内的函数 f(z)解析，且试证

下面，我们根据上述四个数学认知水平，分别对三种教材中的例题和练习题进行分析和比较，并统计出它们在各水平上的数量和所占比例（见表4和表 5）.

表4 三种教材中例题的数学认知水平的比较

从表4可知，三种教材中例题都是水平3所占比例最大，水平1次之，水平2和水平4所占比例都较小.由此可知，三种教材中例题设置都是注重在理解分析方面，而对概念、定义类和需要综合性的数学知识去解决的例题要求较低.

表5 三种教材中练习题的数学认知水平的比较

从表5可知，三种教材中练习题的数学认知水平都是以水平3为主，水平1次之，符合对所学知识巩固理解的要求，同时，也要加强学生分析解决问题的能力.对水平2的习题只是考查学生对概念定义的理解程度，所占比例适宜.而对水平4的习题是要求学生具备扎实的综合数学知识和较强的分析能力，因此，此水平的习题在三种教材中所占比例都较小.

4 其他部分的比较

表6 三种教材中译名、索引、插图数量统计表

从表6可知，教材1和教材2中外国人名译名都是27个，但教材2中外国人名译名是以对照表形式附在课本后面的，而教材1和教材3中外国人名译名则是随着名词出现的，一目了然，便于学生直接记忆.另外，只有教材1和教材2分别附有专业名词译名和索引.教材1中插图最多，有132个，比较符合师范类专业教材的特点，简洁直观，图文并茂，便于学生理解和掌握.

表7 三种教材中部分名词译名的比较

从表7可以看出，教材1和教材2中专业名词译名基本一致，只是个别译名稍微有点不同.而教材3中专业名词译名完全与教材1和教材2不一致.

5 小结

通过以上分析和比较发现，教材1理论性内容较多，应用性内容偏少，概念引入、定理推导过程详细，插图和译注丰富，图文并茂，适合高等学校数学专业学生或自学者使用；教材2和教材3理论性内容和应用性内容并重，对定理推导过程要求不高，应用性较强，非常适合非数学专业理工科学生或工程技术人员使用.