两类四重线性码的构造

杜小妮,吕红霞,王 蓉,李 丽

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)

0 引言

线性码由于具有良好的代数结构,一直是纠错编码理论研究的热点之一.线性码的最小重量不仅表明了码的纠错能力,还可以用来计算信息在传输过程中产生的错误概率,较低重量的线性码更在结合方案[1]、认证码[2-3]、组合设计[4]以及秘密共享方案[5]等方面有着极其重要的应用.确定一般线性码的重量分布是十分困难的,仅有少数线性码可以确定其重量分布.

文献[6-8]引入了一种线性码的一般构造方法,设集合D={d1,d2,…,dn}⊆Fq,则Fq上长度为n的线性码定义为

称集合D为线性码CD的定义集，这里用tr(α)=α+αp+…+αpm-1(∀α∈Fq)表示由Fq到Fp的迹函数[9].丁存生等[10]提出通过选择合适的定义集D可以构造一些较低重量的线性码.

文献[11]构造了一类三重和五重线性码，并由完全重量分布给出了重量分布.杨淑娣等[12]选择定义集D={x∈F*q:tr(x)∈Sq}和D={x∈F*q:tr(x)∈Nsq},其中Sq和Nsq分别表示F*p中所有的二次剩余和二次非剩余元素的集合,构造线性码CD={(tr(ax2))x∈D:a∈Fq},得到了几类三重线性码的重量分布.文中在pm情形下,选择定义集为

D={x∈Fq:tr(x)∈Sq,Tr(x2)=0},(2)

构造线性码

CD={(tr(ax))x∈D:a∈Fq},(3)

其中p为奇素数,m>2.

Fq的乘法特征[9]定义为

1 预备知识

下面先给出几个引理.

引理1[1]若f(x)=a2x2+a1x+a0∈Fq[x],a2≠0,则

引理4[11]定义N(u,v)={x∈Fq:tr(x2)=u,tr(x)=v,u,v∈Fp},则有

(1)当u=0,v=0时,

(2)当u=0,v≠0时,

(3)当u≠0,v≠0时,

(4)当u≠0,v=0时,

显然，码CD的长度

2 线性码CD的重量分布

令T={x∈Fq:tr(x)=b2,tr(x2)=0,tr(ax)=0},b∈F*p.对任意的a∈Fq,码字c(a)∈CD,则c(a)的重量为

(4)

显然,

其中,

引理5符号含义如上,则有

(1)当m为偶数时,

(2)当m为奇数时,

证明由引理1,有

由引理2,结论显然成立. 】

引理6符号含义如上,则有

(1)当m为偶数时,

(2)当m为奇数时，

证明由引理1,有

下证m为奇数的情形,m为偶数时类似.

由引理2可知

则当tr(a2)=0时,

当tr(a2)≠0时,

综上，结论成立. 】

引理7符号含义如上,则有

(1)当a=0时,T=pm-2;当a∈F*p时,T=0.

(2)当a∈F*qF*p时,若m为偶数,则

若m为奇数,则

证明由(5)式,Ω1,Ω2的取值以及引理5和引理6可得结论. 】

定理1当m为偶数时,码CD的参数为[(p-1)pm-2/2,m],其重量分布见表1.

表1 m为偶数时,码CD的重量分布

证明码CD的重量分布由(4)式及引理7可得,频数由引理4可得. 】

例1设p=3,m=6,则Magma程序表明,码CD的参数为[81,6,48],其重量枚举为1+240x54+324x57+162x48+2x81,与定理1的结论一致.

定理2当m为奇数时,码CD的参数为[(p-1)pm-2/2,m],其重量分布见表2.

表2 m为奇数时,码CD的重量分布

证明码CD的重量分布由(4)式及引理7可得.设Ai是码CD中汉明重量为i的码字的个数.显然A0=1当且仅当a=0,An=p-1当且仅当a∈F*p.对于a∈F*qF*p,有

例2设p=5,m=5,则Magma程序表明,码CD的参数为[250,5,190],其重量枚举为1+1000x190+1120x200+1000x210+4x250,与定理2的结论一致.

3 结束语

文中通过选取适当的定义集，构造了两类四重线性码,并确定了其重量分布.文中定义的线性码可能具有更短的长度和更高的信息率,因此,它们可以使用文献[2-3]的框架构建身份验证代码,并且这些线性码的重量分布能够决定某些攻击成功的概率.