一种将δ函数可表示成非奇异函数的极限的简捷证法

袁季兵，唐世清

（衡阳师范学院物理与电子工程学院，湖南 衡阳 421002）

1 引言

在物理学与数学联系日益密切的今天，大量的物理问题需要借助数学手段辅以解决，这无疑对我们用数学方法处理物理问题提出了更高的要求。许多年以前，在物理学中经常要遇到一些包含某种无穷大的量以及不连续函数的微分的这类问题，无法解决。20世纪30年代，为了解决连续谱的本征波函数不能归一化的问题，狄拉克引入了一个实函数δ(x)，称之为狄拉克δ函数[1](以下简称为δ函数)，从而使得连续谱的本征波函数可以归一化为δ函数。由于δ函数的一些特殊性质，如局部无限突变，整体积分有限性，挑选性，对称性等，为我们解决一些抽象的物理问题提供了一种方式，使复杂的问题变得简单，因此，在电磁学，电动力学，光学，量子力学，电路等物理学的几大分支领域中我们都能看到它的身影。由于δ函数的公式可以通过许多种不同的表达方式表示，例如，可以用阶梯函数的微商形式表示，也可以用Fourier积分形式表达；还可以表示成非奇异函数的极限。因此，本文先给出δ函数的定义，然后，再着重讨论分析一种常见非奇异函数的极限可以用来表示δ函数。希望通过这些能够给我们今后理解δ函数提供一种新的思路，使我们能够更加灵活变通的运用δ函数。

2 δ函数的定义和性质

δ函数是一种很奇特的函数，它和经典的“一个点只能对应一个点”的函数的定义是不符合的，因而一开始有许多数学家认为这不是一种数学，以至于没有深入研究，这种状态一直持续到20世纪40年代引入了广义函数这一概念后，才得到了数学界的广泛认可。一般认为δ函数是由著名的物理学家狄拉克引入的，因此，又称为狄拉克函数。一般人们把定义在区间上，满足后面这两个要求中的一个函数，称为一维δ函数。即

δ函数具有很多很重要又很奇特的性质，挑选性，对称性，乘法性，坐标缩放等。

3 δ函数可表示成一种常见非奇异函数的极限

δ函数可以用阶梯函数的微商表示，也可以写成Fourier积分形式。随着非奇异函数的极限的应用越来越广泛，而δ函数作为非奇异函数的一种，它也可以表示成非奇异函数的极限，使某些数学运算更加简洁。只要满足自变量为零时，极限为无穷大；而自变量不为零时，极限为零；并且满足归一化的条件，就可以认为是δ函数。

证明：当x=0时，

利用留数定理有：

如果留数定理不熟悉，我们也可以采用高等数学积分的办法求出上式左边第一项的结果。其方法是构造一个积分，利

由于被积函数是偶函数，所以只需在最终结果的基础上乘以二，就可以证明归一化了。

4 结语

本文从狄拉克函数δ(x)函数的定义出发，给出了一种将δ函数可表示成非奇异函数的极限的简捷证法。对于学生来说是一种有益尝试，不仅可以增强对δ函数及相关物理问题的理解和认识，也可以对教学提供参考和借鉴，开拓思维。