高中解析几何试题探究

安徽省马鞍山市和县第二中学 鲍书斋

解析几何是高考数学科目中的重要内容，其课程难度算是中等，例题样式却层出不穷，需要学生去反复练习和大量记忆。解析几何大体内容可以分为直线和圆、椭圆、双曲线和抛物线，主要的考点集中在求曲线方程、直线与圆锥曲线的交点、曲线的最（极）值和探求曲线方程中几何量极参数间的数量特征这几个方面。本文根据笔者的教学实践和与其他教师交流经验，整合和梳理了高中解析几何方面的问题和解题思路。

一、学生在高中解析几何学习中所遇到的问题

首先是部分学生的代数运算能力不足，解析几何不可避免地要涉及一定的运算，如果学生运算能力不足，就会阻碍学生进一步吸收解析几何的知识。有些学生的运算习惯不好，基本运算能力偏弱；有些学生忽视运算的几何意义，一味靠代数运算；还有些学生运算时思路不灵活，喜欢单向运算；另外一些学生没有对如何引入参数进行深入思考，导致解析几何运算走错方向。

其次是部分学生对平面几何这一学科分支的基本思想理解有偏差，解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，而两者之间的桥梁就是平面直角坐标系，通过建立直角坐标系，我们用坐标

表示点，用方程 表示曲线，最后用方程研究曲线。但很多学生缺少用几何眼光来观察问题的能力，一味地将几何问题代数化，从而陷入了复杂的运算。有些问题不仅需要将几何条件代数化，还要从几何的角度去看转化后的代数问题。

再次，解析几何的本身特点让其学习有一定的难度，第一，解析几何具有代数和几何两方面的特征，这就让学生很容易就顾此失彼；第二，解析几何的思考方法具有一定的抽象性，学生很容易淹没在具体的学习内容中，迷失解析几何的意义；第三，解析几何的解决途径一般都比较多，选择解决途径本身就对学生有一定的难度。

最后，有些教师的专业知识不足，教学方法不当，只知道使用各类习题“狂轰滥炸”，导致学生对于解析几何的深刻性难以理解。比如，我在教导学生“斜率的概念”时，就不会让学生在获得公式后直接开始练习，而是让学生放下公式的束缚，发掘公式推导与证明方法，进而去理解方法背后本质的降维转化的思想，这对于学习解析几何之后的内容大有裨益。

二、具体试题分析探究

1.直线及其方程

教师要从总体上把握两个突破点：首先，明确基本的概念。在直线部分，最主要的概念就是直线的倾斜角和斜率；其次，是直线方程的不同形式，教师可以让学生尝试从不同的角度去归类。

2.线性规划

需要教师指导学生明白线性规划方程组所表示的区域。原点法是应用于线性规划的一种很好的解题思路，如果满足条件，那么区域包含原点；如果原点代入不满足条件，那么代表的区域不包含原点。

3.圆及其方程

学生要熟记圆的标准方程和一般方程分别代表的含义。对于圆部分的学习就是对于初中数学有关圆的部分的一次拓展，只有完成了对于以前知识的拓展，学生才能更加完整地掌握圆的相关知识。

比如：“平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线方程是（ ）。”直线是二元对象，两个独立条件就可以确定它的方程，所求直线与直线2x+y+1=0平行，故在此条件下，所求直线就成了一元数学对象2x+y+c=0。在直线与圆x2+y2=5相切的条件下，所求直线中的c就可以确定，从而确定答案为2x+y+5=0或2x+y-5=0。

4.关于抛物线、椭圆、双曲线

教师要让学生明白焦点的来源、准线方程以及相关的焦距、顶点、离心率、通径的概念。点差法也是在椭圆的题目中经常运用的一种方法，尽管范围不是很广，但如果能用点差法做的题目，会比常规方法简单很多。该类题目大都涉及弦的中点，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式，或者说得到两点连线斜率和中点与原点连线的斜率积。

比如：“已知抛物线y=ax2-1的焦点是坐标原点，则抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为__________。”从抛物线y=ax2-1的焦点为坐标原点可得a=-，则其与坐标轴的交点为（0，-1），（-2,0），（2,0），则以这三点围成的三角形面积为

总之，解析几何题目不仅需要学生付出耐心去学习，更需要教师在一旁耐心教导，调动学生的主动学习和主动探究能力，还要锻炼学生的运算速度和准确率，这样双方都进行努力，一定能让学生在解析几何的学习中获得突破。