运算律的知识意义与核心价值—简便运算不简单

蔡山查

（福建省晋江市潘径实验小学，福建晋江 362200）

引 言

数学是一门研究数量关系和空间图形形式的科学。对规律的探索、理解和运用是教学的重要目标。在教学实践中笔者发现有一部分教师对运算律更多关注的是其在简便运算中的作用，而忽略了其他。

一、运算律教学目标的确立“不简单”

事实上，在教学加法运算律之前，学生早已对交换律不陌生，甚至在心理上早就认同了交换律的存在。比如以下题目：

根据口诀“二四得八”可以写出两个乘法算式：2×4=8；4×2=8。所以2×4=4×2。又比如，数的组合：10可以分成7和3，也可以分为3和7。所以7+3=3+7。这些都是学生早就认同的交换律的应用。对于学生已经熟识的知识，如果还按照发现规律—总结规律—应用规律这样的步骤进行教学，虽然大都会感觉教学过程很顺畅，但是只记住原来感悟的知识，这样的学习意义并不大。笔者认为，运算律的教学除了注重会用符号表示运算律，会运用运算律进行简便运算的目标外，还应注重让学生经历猜测、验证、解释等过程的教学方式。另外，交换律作为数学运算律的起始课，其担负着运算律探究方法的种子作用。如何将本节课习得的探究方法应用到其他运算律的探究中是交换律作为种子课的意义之一。

二、运算律学习过程的探究“不简单”

（一）从形式探究走向意义建构

运算律的教学，依据教材编排及教师授课模式，基本都是按照猜想—验证—归纳—应用的模式。不难发现，按照这样的授课模式，教师关注的往往是式子本身而不是数学意义本身。比如，小明在超市购物，买一个书包40元，买一个铅笔盒18元，问买这两样学习用品共花多少元？从算式的形式上看，不用计算也知道，40+18与18+40计算结果是一样的。但是，从算式意义的理解上，两个算式思考角度是不同的。第一个算式表示的是先付书包的钱，再付铅笔盒的钱；第二个算式表示的是先付铅笔盒的钱，再付书包的钱。不管是先付哪个学习用品，其最后结果都是一样的。笔者认为，运算律的建模应从形式探究走向意义建构。

（二）在建构中理解，在理解中表达

旧教材中关于运算律都有一段文字表述，比如加法交换律：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。新教材则采用字母表示运算律a+b=b+a。这样的改动，是否意味着新教材就不重视、不提倡规律的语言表达了呢？笔者认为，答案是否定的。首先，规律的探究过程离不开语言的表达，其次，语言是思维的外显，透过语言表达教师才能了解学生对规律的理解程度。最后，表达能力是数学的重要素养。我们反对不加理解地死记硬背，提倡学生在建构中理解，在理解中表达。

三、运算律研究方法的习得“不简单”

（一）培养质疑意识

所谓的规律是在变化中找到不变，规律具有一般性。小学阶段规律的归纳基本上都是不完全归纳。因此，在运算律的探索之旅中，让学生要有研究特殊数的意识，经历举反例的过程是非常必要的。

教学案例片段：

师：刚才大家都举了验证的例子，看这两个同学验证的情况。

生 1：(12+17)+28=57 12+(17+28)=57

(12+17)+28=12+(17+28)

生 2：(0.7+0.3)+0.5=1.5 0.7+(0.3+0.5)=1.5

(0.7+0.3)+0.5=0.7+(0.3+0.5)

师：两个例子有什么相同点和不同点？

生：一个是三个整数相加，一个是三个小数相加。

生：先算前两个加数，再算第三个加数和先算后两个加数，再算第一个加数，结果是一样的。

师：是不是所有的三个数相加，先算前两个加数的和再加上第三个加数与先算后两个加数的和再加上第一个加数，结果都一样呢？能不能举出不符合这样规律的特例呢？

这时很多学生开始绞尽脑汁“找茬”举出各种例子。(0+99)+1=100，0+(99+1)=100，所以（0+99)+1=0+(99+1)，从举的例子可以发现，学生开始有了举特殊数的意识，比如数字0。也有的同学举了分数加分数，分数加小数，分数加整数等例子加以验证。学生举反例的意识在验证中逐步形成。

（二）渗透数学思想

数学思想既是数学知识的精髓，也是数学教育的重要目标之一。“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。[1]”在探究运算规律的过程中，教师不仅应关注显性教学目标的达成，更应关注隐性数学思想的渗透。

教学案例片段：

师：今天的学习就从最简单的数字“1、2”开始。

师：1和2可以组成什么样的数字？

生：12和21

生：1.2和2.1

师：什么变了？

生：位置变了。

生：数的大小也变了。

师：我现在仍然用到这两个数，有没有可能位置变了，结果不变呢？

生：可以用上运算符号吗？

生：1+2=3 2+1=3，所以1+2=2+1，位置变了，结果不变。

师：还有吗？

生：1×2=2 2×1=2，所以1×2=2×1，位置变了，结果不变。

师：看来，只用这两个数就可以做到位置变了，结果不变。其他数可以吗？

执教者将数学思想渗透在有趣的猜想验证活动中，将“变中不变”的思想无形地渗透到知识的探究过程中。

（三）经历符号表达

小学阶段，学生学习的符号虽然不多，也比较简单,但史宁中教授认为“符号意识的培养应该贯穿数学学习活动的整个过程，按阶段分层次地渗透，并伴随着学生数学思维的逐步发展”。笔者发现，在运算律的教学中，教学的困难之一是学生的抽象概括能力差。运算律结论的概括是一个由特殊到一般，由具体到抽象的过程。让学生经历规律的抽象概括过程，并用符号表示结论，不仅是符号意识培养的必经过程，也是促进抽象概括能力发展的有效途径。

教学案例片段：

师：交换两个加数的位置和不变，这样的例子有多少个？

生：无数个。

师：有没有办法只用一个算式来表示呢？

生1：A+B=B+A

生2：大+小=小+大

学生在用符号表示运算律的过程中深化了对加法交换律的理解。符号表达的过程是抽象能力培养的过程，也是归纳、概括能力提升的过程。

结 语

总之，运用运算律进行简便运算，不是运算律教学的最主要目标。看似顺畅的运算律教学其实并不那么简单。执教者只有准确把握教学目标，重视过程及意义的探究，关注规律探究方法的习得，方能让运算律的教学课更有数学味。