一道模考题的一题多解

王圣昊

本题是2017年泰州市高三一模试题，考场上难住了我们很多考生，大家普遍认为该题较难，无从下手，本人在老师的指导下，经过一番研究，得出四种解决方案，分享给同学们.

一、不等式法

思路分析求线段BC的长的取值范围，最直接的想法是通过不等式来解决.

由几何中求圆的弦长的基本方法：设BC=x，取BC的中点为M，连结OA，OM，MA，OB，由垂径定理求出OM，再由三角形△OAM，列不等式可解.

点评 圆的几何性质常常是解决圆的问题的最直接、最有效的方法.在三角形中常用两边之和大于第三边和两边之差小于第三边，求代数式的最值或取值范围.

二、轨迹法

思路分析上面通过构建不等式使问题获得了解决，但作为解析几何题我们更想通过解析的方法来解决.

点评 轨迹问题是解析几何的两大核心内容之一，求点的轨迹方程最常用、最基本、最简洁的一种方法是直接法：直接设出动点的坐标，根据题意列出几何关系式，代入动点的坐标并化简，得出动点的轨迹方程.

圆上的动点到一个定点的距离的最小值和最大值分别为d-r和d+r，其中r为圆的半径，d为定点到圆心的距离.

三、几何法

在△OAM中，我们可以通过中线公式，求出MN的值，再利用三角形的性质求出AM的取值范围，从而求出BC的取值范围.

点评解析几何是通过代数方法（方程思想）来解决几何问题，但反过来几何的性质也可以帮助开拓解题思路，优化解题过程.如本题中应用的圆的性质、三角形中线长公式和三角形的性质等.

四、構造法

思路分析 上面三种方法都是直接探求弦长BC的取值范围，我还发现了一个构造新的数学模型的方法.

同理：求BC长的最小值时，如图5.

点评 通过构建新的数学模型来解决问题，比较新颖，但这种方法技巧性强，难度大，对我们能力要求高.本题解模过程中还应用了柯西不等式，也要求有相当多的知识储备.

通过本文案例告诉我们，求某一代数式（或某几何量）的取值范围（或最值）的方法，主要有几何法和代数法两种.几何法是借助几何性质知，何时（或何处）取得最值，从而求出该代数式（或该几何量）的取值范围（或最值）；代数法是引入某个（或某些）变量，将该代数式（或该几何量）表示为该变量的函数（或这些变量的代数式），再求该函数（或该代数式）的最值.