规范灵活的思维是解决压轴题的关键

陈博文

函数与导数作为高中数学的核心之一，在高考命题中常常作为压轴题出现.我们在此类题型的解题过程中经常步履艰难，不知从何下手，以至于最后对其产生了畏惧之心，

其实，函數与导数题型的难度，在于它的逻辑思维战线长，中间一波三折，又可穿插考查分类讨论、数形结合等多种数学思维.在解题过程中，我们的思维易出现混乱，往往说理不清甚至不能继续答题，因此，把自己的解题思维变得规范、灵活、有条理、简洁，是十分必要的.

规范的思维，首先在于如何去分析问题、解决问题，并快速地从知识储备中提取所用知识，常见题型的各种问题，每一步的操作步骤，甚至具体到在哪一点上自己易出错，都应熟记于心，基础扎实，不仅是指知识上的准确，更在于运用的熟练，即能形成一套规范的解题程序，而这种规范思维的养成，需要平时多整理、多思考、多练习.

下面，我以一道题目为例来说明.

题目 （2017年山东理科卷第20题）已知函数f（x）=x2 +2cosx，g（x）=ex（cos xsinx+2x-2），其中e=2.71828…是自然对数的底数.

（工）求曲线y=f（x）在（π，f（π）处的切线方程；

（Ⅱ）令h（x）=g（x）-af （x）（a∈R），讨论h（z）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值，

分析 （I）明显是切线问题.对于这一类问题，我们的基本思维为抓住切点建方程，列出点斜式便可较快地得出答案.

（Ⅱ）是探究函数的单调性和极值.其基本步骤为：求出h'（z），并探究它与零的关系.通过对参数讨论的手法来描绘出函数图象的特点.

解题历程 （I）由题意可得f（π）=π2-2，故切点坐标为（π，π2-2）.

又f '（-）一22 2sinx，故f'（π）= 2π，因此，切线方程l：y-（π）= f'（π）（x-π），

整理得l：2xπ-y-π2-2 =0.

（Ⅱ）由题意，h'（x）=ex（cosx-sinx+2x-2）+e x（sin x-cosx+2）-a（2x2sinx）.

自问1：h'（x）的表达式过于冗长，应该如何处理呢？

自答1：由于h'（x）的表达式过于冗长，（Ⅱ）问大部分同学因此折戟沉沙.那么我们是如何通过导数来研究图象的？我们通过讨论导数与零的关系来画出草图研究极值，但对于现在的h'（x），我们似乎很难讨论它与零的关系.此时，规范的程序性思维便派上了用场，对这种和差形式的导数，最通常的办法是通过因式分解求出变号零点，再进行讨论.

于是可得：h'（x）=2ex（x-sinx）2a（x-sinx）一2（ex-a）（x-sinz）.

自问2：因式ex-a与零的关系需要进行分类讨论，因式zSln z不含有任何参数，那么x-sinx与零的关系如何？

自答2：既然因式x-sinx不含有任何参数，那么x-sinx与零的关系只与变量x，有关，可以新设函数，进行研究；对于因式ex-a，可令ex- a=0，即e x=a，若使得该方程有解，只需要讨论参数a与0的关系，当a≤0时，显然ex-a>0，当a>0时，方程ex=a的解为x=lna，此时需要综合x-sinx的零点进行分类讨论.

设m（x）=x-sinx.

由于m'（x） =1- COS x≥0，则m（x）在R上单调递增.

又因为m（0）=0，所以当x<0时，m（x）O时，m（x）>m（0），即x-sinx>0.

设n（x）=e x-a，则h'（x）=2m（x）.n（x），

（l）当a≤0时，ex-a>0恒成立.

则当x <0时，h'（x）<0，h（x）单调递减；当x>0时，h'（x） >o，h（x）单调递增；当x=0时有最小值矗（0）=-2a-1，无极大值.

（2）当a>0时，令ex-a=0得x=Ina.

①若Ina <0，即O0，所以h（x）在（-∞，Ina）上单调递增；当Ina0，故h'（x）<0，故h（x）在（Ina，0）上单调递减；当x>0时，m（x）>0，n（x）>0，故h'（x）>0，因此h（x）在（O，+∞）上单调递增；因此x=Ina时，h（x）取到极大值为h（Ina），x=0时，h（x）取到极小值-2a-1；

②若Ina=0，即a=l，当x<0时，m（x）0，当x>0时，m（x）>0，n（x）>0，h'（x）>o，因此h（x）在（-∞，+∞）上单调递增；无极值；

③若Ina >O，即a>1，当x<0时，m（z）<0，n（x）<0，故h'（x）>0；当0Ina时，h'（z）>0，h（x）在（Ina，+∞）上单调递增；因此x=0时，h（x）取到极大值，h（0）=-2a-1.x=lna时，h（x）取得极小值为h（Ina）.

综上（1）、（2）分类，便可得最终答案.

评注：细思本题，仍然考查处理函数与导数问题的通性通法，本题能作为压轴题，重点在于考查数学的基本功，如因式分解、分类讨论等，只不过对这些通性通法的考查，换了复杂的的函数背景.我们在日常的复习过程中，应该注入研究性思维，寻找万变不离其宗之“宗”，揭示问题的本质，例如本题涉及的切线问题，核心在于抓住切点建方程，那么由切点引发的结论是什么？切点可得切线斜率、切点在切线上、切点在曲线上，利用关于切点的这三条，关于切线甚至于较难的问题我们也会迎刃而解，对于（Ⅱ）问，我们要始终确信，在我们应该掌握的知识范畴内，只要研究导数，就一定是研究导数与0的关系，这样我们也就清楚了单调性、极值点的问题了，对于分类讨论，是因需要才讨论，不是去欣赏怎样讨论对不对的问题，而是解决为什么要讨论的问题，很明显，弄清楚了两个因式m（x），n（x）与0的关系，我们得到了关于参数a的一级讨论点“0”，但又无法区分两因式与0的关系，需要比较Ina与0的大小，从而得到了关于参数a二级讨论点“1”，综合起来，即对以的讨论分为a≤0，O1.这就是规范的思维总结.

规范、灵活的数学思维的养成，对导数与函数大题的解决起到了至关重要的作用.我认为在平常学习中应做到以下几点：

1.数学思维的养成，需要做到“整理、思考、练习”，步步为营.平时多问自己几个为什么，加强对解题步骤中细节的揣摩，将其思想融人心中，才能在旧题型上做到既快又准，在新题型上有所突破.

2.数学学习是一个循序渐进的过程，问题的深入也是思维的升华，不断地自问自答、平时多独立思考、总结并积累自己的解题模式并加以必要的练习，才能在考场上游刃有余.

如果说数学考试是一场思维的博弈，那函数与导数便是其最精彩的部分，愿我们一起静下心来，去感悟数学思维的魅力，在探究数学的过程中找到自己的乐趣！