解决问题的两柄利剑：“特殊化”与“一般化”

朱静

每个同学都可能遇到过这样的两种情形：其一，面对一道数学问题无从下手，反复在脑海中百度，也搜索不到能够借用、类比或转化的信息，只能望题兴叹，匆匆跳过；其二，每天练了一道义一道的数学试题，可拿到数学试卷时，总感觉多数题是新的，心中不无感慨：是命题老师太厉害了，还是数学问题无穷无尽？

其实，这两种情形是正常的.究其原因，不是我们学习态度、学习能力的问题，而是我们解决数学问题时的策略有缺陷.当你无从下手时，有没有考虑从简单、特殊的情形（状态）之中，解读问题信息、探寻数学规律，进而破解难题？当你解完一道数学问题时，你是否匆匆忙忙急于完成下一题，而遗忘问题解决的关键步骤——题后反思？

本文拟结合具体的数学问题，与同学们谈谈这两柄利剑：特殊化和一般化，

一、特殊化：退一步海阔天空

所谓“特殊化”，可以简单地理解为：“从一般问题中抽取特殊情形，充分利用特殊情形的简单性去认识复杂事物，”学会“特殊化”能将抽象的数学命题变得具体而简单，能从复杂的问题表征中删去干扰的、冗余的信息.由简单情形作为起点，犹如一面镜子，可为一般情形提供对比，在对比中解决问题，在变化中把握趋势，在特殊中窥见一般，从而破解难题，甚至获得惊喜的发现.

题后反思（1）回顾本题的求解过程，用到了两个知识：对数式和指数式的互化、分数指数幂的比较大小，显然，先“特殊”后“一般”，我们思维通道的密度增加，这些知识回想起来自然些，运用起来简单些.

（2）本题本质上是比较三个数的大小：x∈（0，1）上不具备单调性，我们比较这类数的大小时，“构造函数，利用单调性比较大小”的方法不是很适合.

例2 在数列{an}中，已知a1=p>0，且an+1'an=n2+3n+2，n∈Nx，求数列{an}的通项，

分析由数列{an}相邻项的关系式求通项，我们常用的方法是“变形一换元一转化为等差数列或等比数列”，但面对“an+1an=n2+3n+2，n∈Nx”，我们一筹莫展，怎么办呢？“特殊化”！数列中运用“特殊化”是一种基本策略，通过“归纳”前几项的规律，探求一般的解题路径.

仔细观察不难发现：似乎数列的奇数项按原来的顺序构成的数列{a2n-1）成等差数列；偶数项按照原来的顺序构成的数列{a2n}也成等差数列.如果猜想成立，我们只需研究相隔一项的两项之间的关系.

题后反思数列中的“特殊化”策略可以通俗地表达为“写出来，看一看”.这是因为一个数列的定义不是直接给出“通项公式”，就是给出“相邻项的关系式”.无论是“通项公式”，还是“相邻项的关系式”，它们都是“全称命题”，即对于任意的满足要求的“n”均成立.我们将之“特殊化”——从初始的值开始，代入等式，一个个地“写出来”.所谓“看一看”，就是“观察”、“归纳”.一般地，如果遭遇令人一筹莫展的数列题时，“写出来，看一看”不失一条“简”道，同学们可以尝试尝试，大多能够“柳暗花明义一村”.

二、一般化：举三归一、举一返类

数学问题的解决固然重要，但题目的变化千千万万，我们肯定无法穷尽，也无须穷尽.因为数学问题是数学知识的一种表征，隐在数学问题后的数学知识是有限的，将有关联的问题根据所用知识、方法等“联系”起来，进行“一般化”，我们称之为“举三归一”；如果能将这些知识归类、整合、打包，形成一类完整的“知识块”，我们称之为“举一返类”，这样学习起来就更简单了，

为了说明问题，我们做个类比：数学问题好比电脑里的一个个“文件”，“举三归一”就是将那些“特殊的”、“关联的”文件放人同一个“文件夹”；如果将这些“文件夹”进一步“一般化”，归类放人更大的“文件夹”中，就是“举一返类”.这种“一般化”的优势在于“我们需要时，能够快捷检索”.类比到学习，做到“举三归一”、“举一返类”，数学问题解决时，我们能将相关知识快速迁移到问题情境之中.如此坚持训练，自然而然，我们能够坦然面对一切考题，不再“惧新、畏难”.当然，有些同学难以做到“举一返类”，可以先尝试“举三归一”.

例3 求平面内与两定点A1（-4，0），A2（4，0）连线的斜率之积等于常数-1/4的点的轨迹.

分析本题是一道常规的求轨迹题，答案为：椭圆（去除A1，A2两点）.

第一次“一般化”

变式1 求平面内与两定点A1（-a，0），A2（a，O）（a>O）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹.

分析将例3中的定点和定值用字母替代，进行“一般化”.虽然问题解决时采用的方法完全一样，但难度增加了，而且得到的结论需要讨论：加上A1，A2点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.

第二次“一般化”

变式2 求平面内与两定点A1（-a，0），A2（a，O）（a>0）连线的斜率之积等于非零常数-b2/a2的点的轨迹.

分析反思变式1的解答，m的取值不同，轨迹也不同，怎样才能是椭网呢？通过探求，我们不难发现取“m=-b2/a2”时，所得轨迹方程为：x2/a2+y2/b2=1（x≠±a）.

变式3 A1（-a，0），A2（a，O）是椭圆x2/a2+y2/b2=1的左、右顶点，动点P是椭圆除A1，A2的任意一点，求证：P与A1，A2连线的斜率之积为定值.

分析 变式3是变式2的“逆命题”，在变式2中我们发现“Al （-a，O），A2（a，0）”正好是所得椭圓的左、右顶点，自然要想，椭网上的点是否具有这样的性质？证明方法很简单：只要设出动点P的坐标，代入验证即可.

第三次“一般化”

变式4 已知过椭圆x2/a2+y2/b2=1中心的定直线交椭圆于A1，A2两定点，动点P是椭圆除A1，A2的任意一点，求证：P与A1，A2连线的斜率之积为定值.

分析 变式4将变式3中的A1，A2进行“一般化”.变式3中的“A1（-a，o），A2（a，0）”是关于原点对称的两个椭圆上的点，如果“一般化”为“椭圆上任意两个关于原点对称的点”义会怎样？“一般化”验证结果，让人热血沸腾——也成立.

当然问题还能进一步“一般化”，上述问题是椭圆的性质，是圆的性质吗？是所有圆锥曲线共同的性质吗？进一步地探索，巩固方法的同时，自然地形成了一类圆锥曲线知识块.