一篇硕士论文指瑕

陈颖颖

华中师范大学硕士论文《数学开放题与学生创造性思维培养》（夏婧，2006）的第23页有以下一段文字：

例6 五个自然数，它们的和等于它们的积，求此五数.

对于这样的问题，如盲目猜想或者利用不定方程组来解就会多走弯路.但是通常按运算经验，五个自然数的积一般总大于它们的和.要使两者相等就必须缩小积的值，即多用几个较小的数，如1，2，3等.这个想法就是一种最简单的直觉，它来源于经验，而在脑际迅速闪现并指示了解题的方向.

上题仅有两解，而有些题目的解是多個，课上有时无法解决，这时可以让学生课外思考，有时可获得出乎意料的妙解.

这篇论文（以下简称“夏文”）中断定“上题仅有两解”，事实上，我们不难验证以下4组数都是本题的解：（o，0，0，0，0）、（1，1，2，2，2）、（1，1，1，2，5）、（1，1，1，3，3）.

即使排除第一个全为0的这个平凡解，本题也有3组非零解.所以，夏文的这一论断是错误的.下面我们用3种策略来证明本题只有这4个解.

命题1 和与积相等的五个自然数，若不全为0，则全不为0.

当其中有0时，所得积必为0，若此时不全为0，所得和大于o.和与积不可能相等.所以，若不全为0，则全不为0.

之后就可只讨论本题的非零解，所以以下我们假设5个数均为正整数.

策略一：缩小范围，暴力破解

我们首先想到的解题思路，就是利用编程一一枚举检验，但这个简单粗暴的方法也面临一个问题：我们应该在怎样的一个范围内进行枚举检验？这就需要首先知道五个数的取值范围.为此，我们从寻找“五数应该具备哪些性质？”这个问题人手.

据以上5个命题，我们已经把五个数限制在一个较小的范围内，可以在此范围内进行一一验证，至多进行4×3×4=48次试验就可得出本题的所有解（排除交换重复的情况，实际试验次数将更少）.

当然，我们也可利用框中的BASIC程序验证知，本文开头所列举的是本题的所有解.

策略二：代数变形，分类讨论

至此，我们基本解决了本文开头提出的问题.但我还不太满意（就像四色问题虽然已经借助计算机得以证明，数学家们仍在继续努力寻找其他证法）：如果不借助编程，验证的工作还是比较繁琐的.有没有更简洁的方法呢？

策略三：顺藤摸瓜，另辟蹊径

以上，我们已经获得了不借助编程的纯人工解法，而反思命题2的证明，我们想到了“如果有3个数大于1会怎样？”，对这个问题深入，我们义获得了另一种更为简单的证明方法.

体会

对这类开放题，我的第一想法就是用代数方程的方法，但后来发现比较繁琐，于是就开始考虑用编程进行暴力破解.但是，编程暴力破解需要明确搜索的范围.为此，我们一般先通过研究未知数所具备的性质来确定未知数的范围，并且尽量缩小范围.我发现，这种解题的思维过程，与我们解答高考模拟题不一样，数学并不只是为了解高考题，数学还有更丰富的内涵，等待我们去掀开她神秘的面纱，感受她那独特的魅力.

虽然暴力破解的方法看起来比较笨，但却是找到策略二这种简约思路的基础.如果没有暴力破解这种方法让我看到希望，说不定我在找到策略二之前就已经放弃了.所以在这个过程中我深刻体会到，学数学不能排除看起来很笨的方法，有些“巧方法”就隐藏在“笨方法”之中；当然也不能满足于“笨办法”，否则就发现不到隐藏在里面的“巧方法”.“巧出于笨”这四个字或许是我最大的收获.

夏文断言本题“用不定方程组来解会多走弯路”，但我的体会是，弯路是走了一些，但不算“多走”，而且很多惊奇和快乐的体验恰恰是因为走在这些弯路上！就像在旅游时，印象最深的不一定是看到了规划好了的景点，反而是因为走错路而发现的全新美景吧！

[指导老师点评]

（1）当我把这个问题在社团的QQ群里提出后，作者马上把这个研究任务领了下来.一位高中生敢于向硕士论文叫板，这种不盲从权威的科学精神值得赞赏.原来她打算和另一位同学一起在暑假研究这个问题，由于这位同学外出很长一段时间，她就白己先开始研究了.等同学外出回来，她已经把问题研究得差不多了.

（2）这道题从问题结构上分析，条件与结论之间的关系是相当隐晦的.没有现成的解题模式可以套用，对于从未经过中学奥数训练的高一升高二学生来说，还是有一定难度的.

（3）在高一没有系统学过反证法的情况下，能大量使用反证法证明这一系列命题，难能可贵.写这篇论文的经历实际上已经提前完成了反证法的最基本训练.

（4）高一升高二的学生要写出这样的文章，其艰难程度是可想而知的.作者几乎用了整个暑假来琢磨这篇文章，其间经常通过QQ主动向我请教，这种求学精神让我非常感动.除了把问题本身研究清楚之外，还要学习论文的基本规范，一开始连文章的框架都比较乱.最后形成的这个论文框架，也是我们多次讨论后逐步形成的.相信这一经历能让她更真切地理解数学论文写作.

（5）本文原本还可以写得更精练些，但我觉得现在这个写法更能展现作者对这个问题的整个探索过程，作为学生论文这种写法更有意义.