尝试：数学发现的源泉

尤善培

“发现”，是一个美妙的词.

发现引人注目.在长篇大论里忽然看到“发现”二字，读者的眼睛顿时会为之一亮.电视剧的人物对话中飘过来“发现”二字，电视机前的观众立刻会安静下来，电视机旁的过客会好奇地探过头来，想探寻：发现了什么呢？

发现使人鼓舞.一宗迷案发现了侦破线索，办案人员顷刻间忘记了疲劳，忘记了饥渴.一道数学题发现了解法，解题者马上会变愁容为笑容，乐滋滋地说：众里寻她千百度，“发现”原来在此处.

发现令人神往.法国著名数学家彭加勒有一天夜晚违反习惯，喝了黑咖啡，久久不能人眠，各种想法纷至沓来，结果第二天早晨发现了一类新的高等超越函数.

在各种各样的发现里，最容易接近的是数学发现.因为数学就在我们的身旁，就在我们的生活里.那么怎样走向数学发现呢？尝试：是数学发现的源泉！

一、善于尝试，发现解法

下面我们来欣赏一个探求数列通项的实例.

问题请按照规律填充适当的数.2，4，16，（ ）.

1.如果我是小学生

尝试：2与4相差2，4与16相差12，因而猜测16与后面的一个数应该相差22，于是他认为答案应是38.

现在，我们“慢镜头”展示这位小学生尝试的思维历程.

尽管小学生习惯于最低层次的加减运算，却揭示了一个二阶等差数列的本质.进一步研究，我们会发现，此数列的一个通项公式是N=5N2-13n+10，当然小学生很难得到这样的结果.

2.如果我是初中生

尝试：由于22 =4，42=16，于是下面一个数应该是l62=256.

显然，这位初中生尝试的思维过程是这样的：

第一个数是2，第二个数是第一个数的平方，第三个数是第二个数的平方，因而有理由推测，第四个数应该是第三个数的平方，

因为初中生熟悉的是平方运算，揭示的规律是后一个数是前一个数的平方.

进一步思考，这位初中生很可能发现此数列的一个通项公式是an=22n-1.

3.如果我是高中生

尝试：原来的数是2，翻一番是4，然后从4到16是“翻二番”了，所以下一步是16“翻三番”了，即16-32—64—128.

显然，这里高中生着眼于指数运算，发现的问题本质是每一个数都是形如2n的数，只要找到指数的变化规律，问题就解决了.其实，已知的几个数为21，22，24，其指数分别为1，2，4；显然，下一个指数应该是7（这已经是小学生都会的了）.于是，下一个数应该是2 7，即128.“翻番”的实质是指数函数.至此，这位高中生也能求出这个数列的一个通项公式是an=2

至此，笔者在这里分别扮演了小学生、初中生和高中生，从各自的知识基础出发，借助各自的解题经验，进行尝试，较为轻松地发现了第四个数，实际上也就是发现了问题的规律，揭示了问题的本质.

这里的思维过程可以这样来描述：从数学问题情境出发，进行尝试活动，打开了发现的窗户，踏上了发现的道路，从根本上来说，数学解题的历程，就是数学发现的过程.

二、继续尝试，看透本质

现在，我们再来看一道曾是“开心辞典”节目中的“闯关题”：已知一列数的前五个数是O，4，18，48，100，求第六个数.

1.“闯关者”向“小学生”学习

用小学生的方法也能解这个问题.

2.“本科生”向“中学生”学习

进一步思考：本题的答案并不唯一.

有一位数学系的本科生，用高等数学的方法，人为地造出了一个统管前面五个数的“规律”.

an=n2（n-1）+（n-1）（n-2） （n-3）（n-4）（n-5）a.

显然，它由二项构成.在n=l，2，3，4，5時，第二项的值统统都是O，只剩下第一项了.而它的值，在n=l，2，3，4，5时的值就分别得出 0，4，18，48，100.当n=6时，“规律”产生的数是180+120a，式子中出现了参数以，正是有了这个a，第六个数就“宽松”自由得很，你随便说一个数，总是正确的答案，譬如，你说第六个数是o，只要让a=-3/2即可，你若说第六个数是2 010，只要取a=15.25就行了.

3.“研究生”更会“研究”

说得更深刻一些，找规律的问题的实质等同于以下的问题：已知在等间距上各端点处的函数值，试确定这个函数.显然本题有无数解，这就发现了本科生解决问题的本质.

4.“教授”更为“睿智”

陕西师范大学数科院罗增儒教授则发现了一个“以不变应万变”的“妙解”.他把这个数列看成一个以5为周期的数列，且前五项分别为O，4，18，48，100.显然，第六项应该是O，真是“棋高一着”，“妙不可言”.

因此，看透本质（由数列的有限项不能确定其他项），追求实质就是数学发现的重要路径.

三、化简尝试，追求实质

面对纷繁的数学问题，只要我们化繁为简，撩开迷人的面纱，看透本质，就能“水落石出”，发现解决问题的突破口，抓住本质，就会使问题迎刃而解.

问题 已知等差数列{an}的前n项的和为Sn.

（1）若a10 =100，a1oo一10，求a110.

（2）若S10=100，S100=10，求S110.

1.化简，看透本质

先求解第（1）小题，

思考：要求a110，而已知a10=100，a100=10，根据等差数列的定义，只要知道公差d就可以了，这就是问题的本质，而公差d的实质就是等差数列所决定的直线的斜率，联想到斜率公式，立得

现在来求解第（2）小题，

思考：要求S110，只要知道a1和d.怎样求出a1和d，可以通过S10=100，S100=10，求出1和D，进而求出S110=-110.

2.联想，追求实质

第（2）小题的结论：当S10=100，S100=10时，成立SlO+100=-（10 +100），似乎偶然，出于巧合，难道其中没有必然性？细想想，总觉得意犹未尽！这是一个有益的念头，再想想本题的必然本质到底是什么？

其实，对于等差数列{an}而言，an的通项公式是n的一次函数，它的前n项的和Sn是常数项为O的二次函数，这就给我们一个启发， 是一次函数，因而bn= 是一个等差数列.至此，我们发现了一个极其漂亮的解法.

因而问题就化为在等差数列{bn}中，求b110，这正好就与第（1）小题类似，因而很快求出b110=-1，于是S110=-110.

3.抽象，优化素质

我们尝试着将上面的问题一般化，扩大战果.

已知等差数列{an}的前n项的和为Sn

（1）如果an=q，aq =p，求ap+q.

（2）如果Sp=q，Sq=p，求Sp+q.

先解第（1）小题：

由等差数列的性质可知，点M（p，q），N（q，p）在直线x+y= p+q上，所以当x=p+q时，ap+q=0.

再解第（2）小题.

这里问题（1）的轻松解决靠的是发现了问题中的数与形的关系，当然也可用前述斜率方法求解；问题（2）用的是整体代换的思想方法，当然也可仿前用Sn为等差数列快速求解，

数学学习的过程实际上是一个“尝试、猜想、发现”的过程.在数学解题的过程中，我们要向发现要潜力，向发现要时间；我们要积极探索和尝试，从而揭示本质，优化素质.