赏析三角形中解题的“中庸之道”

宋广志

“中庸之道”原本指不偏不倚，折中调和的处世态度.在含三角形的问题中，恰当地运用“中庸”的解题策略——取中线，会起到事半功倍的作用.要想运用好中线，首先要知道三角形中线的三种常见“中庸”形式：

在△ABC中，D为BC的中点：

三种形式都有其自身的特点：

形式1是把两个向量之和转化为一个向量；

形式2就是中线定理，表示中线和三条边之间的数量关系；

形式3是极化恒等式，即向量数量积与线段长之间的转化.

在有关三角形向量题目中合理运用这三个特点，可以迅速地找到问题的突破口，打开思路.

点评本题是求四边形两对角线向量的数量积，抓住数量积的运算关键，两个向量的起点要相同，所以必定要将其中一个向量进行转化，根据题意，最好将向量转化为与边长相关的向量，自然中点就是首选.根据解題过程中的一般性，得到结论：凸四边

点评中线的数量形式主要将三角形的三条边及中线长的联系起来，本题中线段长关系比较清楚，直接让P的轨迹无处遁形.

点评极化恒等式的功能是实现向量和数量的统一，对于快速计算数量积，求数量积的取值范围具有较强实用性.任意两个向量也可以写成极化恒等式的形式：a·b=

通过上面的例题发现：三角形中线的有关知识已经成为高考或模考命题的重要素材，深受专家们的青睐.利用好三角形的“中庸之道”，认清中线的三种形式，无疑对我们去抓住问题的本质，简洁快速地解题具有很大的帮助！