从勾股定理逆定理的证明谈构造法

☉山东省莱芜市雪野旅游区雪野镇中心中学 魏衍彬

引例 如图1，△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，求证：△ABC是直角三角形.

证法1：如图2，作Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°.

在△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′，所以△ABC △A′B′C′.所以∠C=∠C′=90°，即△ABC是直角三角形.

证法2：如图3，过点B作BD⊥BC，且使BD=b，连接CD.

在Rt△DBC中，由勾股定理，得CD2=BC2+BD2=a2+b2=c2，所以CD=c=AB.

在△ABC和△DCB中，AC=b=BD，CD=c=AB，BC为公共边，所以△ABC△DCB.所以∠ACB=∠DBC=90°，即△ABC是直角三角形.

以上是勾股定理逆定理的证明，无论是证法1还是证法2，基本思路都是通过构造一个直角三角形，然后运用勾股定理并结合已知条件证明两个三角形的第三边相等，进而利用“边边边”证明两个三角形全等，最后根据“全等三角形的对应角相等”使命题得证.这里渗透了一种重要的数学方法：构造图形法.构造图形法是一种重要的解题方法，许多看似复杂，用常规方法难以解决的数学问题，如果能够根据题目中的数或式的结构特征，发掘隐含的数或形的信息，借助于形式联想，巧妙地构造出图形，可使问题获得别开生面的解决.下面以例说明构造法在数学解题中的应用，以期对读者有所帮助.

一、构造一元二次方程

由方程根的定义可知，若x1≠x2，且c=0，则x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根；若x+x=则x、x是一元二次方程1212的两根；若a（x-x1）（x-x2）-m=0（a≠0），则x1、x2是一元二次方程a（x-x1）（x-x2）-m=0的两根.可以据此构造一元二次方程解决一类与之相关的问题.

例1 设a1、a2、b1、b2都是实数，a1≠a2，且有（a1+b1）·（a1+b2）=1，（a2+b1）（a2+b2）=1，求（a1+b1）（a2+b1）的值.

在提升生物教学质量的过程中，教师应充分认识到实验教学的重要性，在教学过程中，以理论知识为主，实践教学为辅，带领学生进行实践教学，进而增强学生对理论知识深度理解。例如：在讲解“绿叶中色素的提取和分离”的过程时，由于本节课为实验课，在展开实验之前，教师可以向学生明确相应的教学目标，让学生明确绿叶中色素的种类和作用。在确定教学目标后，可让学生进行简单的预习，并按照课本中的知识研究无法理解的问题，在进行实践教学的过程中，教师可以对学生进行自主教学，以便培养学生的探索创新能力。然后再带领学生进行生物实验，锻炼学生的动手实践能力，这对于提升生物课堂教学质量具有良好的作用。

分析：观察两个已知等式，我们发现这两个等式是具有相同结构的等式：（x+b1）（x+b2）=1，因此可以通过构造一元二次方程（x+b1）（x+b2）=1求解.

解：构造一元二次方程（x+b1）（x+b2）=1.

因为（a1+b1）（a1+b2）=1，（a2+b1）（a2+b2）=1，且a1≠a2，所以a1、a2是一元二次方程（x+b1）（x+b2）=1，即（x+b1）（x+b2）-1=0的两根.

例2 已知实数a、b、c、d满足a-b=c-d和ab=cd，判断实数a、b、c、d的关系并说明理由.

分析：先将ab=cd变形为a（-b）=c（-d），即可逆用韦达定理构造一元二次方程求解.

解：将ab=cd变形为a（-b）=c（-d），且设a-b=c-d=m，a（-b）=c（-d）=n，根据一元二次方程根与系数的关系可知a、-b和c、-d都是一元二次方程x2-mx+n=0的两根.所以a=c，-b=-d，或a=-d，-b=c.即a=c，b=d或a=-d，b=-c.

说明：本题除了构造法之外，还有一种比较巧妙的方法：二元代换法.由a-b=c-d，可设a=m+p，b=-m+p，c=m+q，d=-m+q，代入ab=cd，得p2-m2=q2-m2.所以p2=q2.所以p=q或p=-q.当p=q时，a=c，b=d；当p=-q时，a=-d，b=-c.

二、巧构等腰直角三角形

等腰直角三角形是比较特殊的三角形，它具有直角三角形和等腰三角形两者的特性，它的每一个锐角都等于45°.在解决一类求角度问题时，如果能够根据题目特征巧妙构造出等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求解十分简捷.

例3 如图4，表示3×1的正方形网格.连接AF、AQ，求∠AFB+∠AQB的度数.

分析：∠AFB和∠AQB都不是特殊角，无法求出它们的具体度数.可先用量角器分别量出这两个角的大小，然后计算它们的和大约等于45°，因此我们可以大胆猜想，∠AFB+∠AQB应该等于45°.由45°联想到构造等腰直角三角形求解.

思路1：如图5，延长DC至CM，使CM=CD，连接AM、QM.

易证△ABF △MCQ △ADM.于是∠AFB=∠MQC=∠AMD，AM=QM，所以∠AMQ=∠AMD+∠QMC=∠MQC+∠QMC=90°.所以△AMQ是等腰直角三角形.所以∠AFB+∠AQB=∠MQC+∠AQB=∠AQM=45°.

思路2：如图6，作正方形BKMN，连接AM、MF.易证△ABQ △MKF，△ABF △MNA.所以∠AQB=∠MFK，∠MAN=∠AFB，AM=AF.所∠MAF=∠MAN+∠BAF=∠AFB+∠BAF=90°.所以△AMF是等腰直角三角形.所以∠AFB+∠AQB=∠AFB+∠MFK=∠AFM=45°.

说明：本题构造方法较多，除了上面介绍的两种构造方法，还有其他构造方法.这些构造法的实质是将△ABF和△ABQ拼在一起，使△ABF的顶点F和△ABQ的顶点Q重合，边BF和BQ在一条直线上且在重合顶点的同侧，而边AF和AQ在BF（或BQ）的异侧.

三、构造正方形网格

在学习平面直角坐标系时，我们会遇到一类求正方形网格内的三角形的面积问题.由于这些三角形的边长多为无理数且为斜三角形，无法直接利用三角形的面积公式求解.我们的办法是采用分割法，将三角形的面积转化为规则图形的面积之和或差求解.这就启发我们，在解决一类边长为无理数的三角形的面积问题时，有时可以通过构造正方形网格的办法求解.

分析：由勾股定理的逆定理知，△ABC是一个斜三角形，而且三边都是无理数，这使得求△ABC的面积变得非常困难.仔细观察三角形的三边特征，注意到5=1+4=12+22，10=1+9=12+32，13=4+9=22+32，联想到勾股定理和平面直角坐标系中求几何图形面积的方法，于是可先构造一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.

解：如图7所示，构造一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），在网格中画出格点△ABC，由勾股定理，得AB=×3=9-2-1.5-3=2.5.

从上面可以看出，在解答一些具有明显数字结构特征或图形特征的数学问题时，如果能够根据题目特点，灵活构造式子或图形求解，这样可以化腐朽为神奇，收到事半功倍、出奇制胜之效，同时对培养同学们的创新思维也大有裨益.当然，可以用构造法解决的数学问题远不止这些，只要同学们认真体会，勤于思考，善于发现，用心总结，一定会将这种方法变成我们的解题利器.