高考中椭圆试题的解法探源

☉山东省肥城市第一高级中学 刘子昂

纵观近年高考数学试卷中的选择题和填空题，圆锥曲线中涉及椭圆的题目出现的频率非常高，亮点也颇多.要处理好此类问题，除了熟练掌握椭圆的定义、方程与几何性质外，还要结合题目中的已知条件，准确巧妙用好题中对应的特殊点，从而避免少走弯路，达到快速、有效、准确解题的目的.

一、求线段的长度

例1 已知O为坐标原点，设F1，F2分别是椭圆的左右焦点，P为椭圆C上任意一点，自点F1作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（ ）.

A.a B.b C.2a D.2b

分析：常规方法是确定点P的位置，连接PF1，PF2，延长F1H交PF2的反向延长线于点Q，结合角平分线的性质以及椭圆的定义得到|QF2|=2a，再结合中位线定理即可得到|OH|的值，利用椭圆的定义来处理，要求必须数形结合，并借助平面几何的相关知识来处理，技巧性要求高.而通过特殊点的选取，淡化椭圆的相关定义与几何性质，简化运算，可以更为有效快捷地处理与解决问题.

解：由于点P为椭圆C上任意一点，取其特殊点P位于椭圆C的左顶点处，此时P，F1，F2三点都在x轴上，那么∠F1PF2为零角，则自点F1作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为H，此时垂线为x=-a，P，H重合，可得|OH|=a.故选A.

点评：对应变化不定的点的位置问题，同时涉及相关角的外角的角平分线以及垂线问题，处理起来要数形结合，而通过特殊点的选取，处理起来更为直观快捷，从而省去对椭圆定义的巧妙转化与应用，以及平面几何中相关知识的综合与应用，使得一般问题特殊化，操作起来更为特殊，且不失一般性，求解更加快捷易求.

二、离心率的确定

分析：常规方法是设出点P的坐标，根据平面向量的坐标运算并结合PF—→1·PF—→2<0建立不等式，再通过点P的坐标所满足的条件加以代换，结合椭圆的离心率公式以及隐含条件来确定离心率的取值范围问题，处理起来计算量比较大.而通过取特殊点P位于椭圆C的上顶点处，假定此时∠F1PF2为直角，求解此时椭圆的离心率，并结合钝角的性质以及离心率的隐含条件来确定椭圆C的离心离的取值范围，数形结合直观，求解转化巧妙.

图1

点评：对于无法确定的点的存在性问题，巧妙借助以F1F2为直径的圆与椭圆的关系来确定∠F1PF2的情况，利用∠F1PF2为直角时椭圆离心率的取值，并加以数形结合直观来分析满足条件时椭圆的离心率的取值情况.这样处理问题可以更有效地简化计算，同时数形结合更为直观，省去繁杂的推理与运算过程，提高效益.

三、关系式的转化

分析：常规方法是设出∠IF1F2=α与∠IF2F1=β，得到kIF·

1kIF2=-tanαtanβ，延长F1P到点Q，且|PQ|=|PF2|，通过边角之间的关系转化.在△QF1F2中，结合正弦定理得到对应的关系式，并利用两角和与差的余弦公式来处理，涉及的知识点比较多，计算也比较繁杂.而通过特殊点的选取，使得点P位于双曲线C的上顶点处，方便确定△PF1F2的内切圆I的位置，设出圆的半径，可以简单快捷地在直角三角形中确定对应边之间的关系，结合勾股定理即可确定r的关系式，同时对应直线的斜率也比较方便处理与转化.

解：由于点P是椭圆C上的一个动点，取其特殊点P位于椭圆C的上顶点处，如图2.

设△PF1F2的内切圆I的半径为r，结合内切圆的性质并利用勾股定理可得（a-c）2+r2=（b-r）2，整理有

图2

点评：对应变化不定的点的位置问题，通过特殊点的选取，使得对应三角形的内切圆位置的确定、直线的斜率的求解等变得更为方便易求，处理起来更为直观快捷，从而省去对椭圆定义、平面几何、三角函数等综合知识的熟练掌握与应用，使一般问题特殊化，运算起来更为快捷方便，而且不失一般性.

四、几何图形的处理

分析：常规方法是设出点P的坐标，进而确定直线PA的方程，求解点M的纵坐标，从而计算|BM|的值.同理计算|AN|的值，再结合四边形ABNM的面积公式加以转化与化简，进而确定对应的面积.而通过特殊点的选取，利用点P的极端情况，巧妙转化四边形ABNM为极端三角形问题，进而结合三角形的面积公式来求解，通过极端思维处理，更为快捷简单.

解：设A1（-2，0），B1（0，-1）.

当P→A1时，此时四边形ABNM→△AA1B，此时S△AA1B=

当P→B1时，此时四边形ABNM→△ABB1，此时S△ABB1=

而P为第三象限内一点且在椭圆C上，根据“两边夹”原理知，四边形ABNM的面积为2.

点评：对于变化不定的四边形问题，通过特殊点的选取，结合极端思维，使得平面图形简单化，借助“两边夹”原理，从而求解起来更为直观简单，处理方式更为巧妙，简化运算，提升效率.涉及平面几何图形的求解问题，经常采取此特殊法处理，寻找特殊的线段、三角形、四边形等特殊图形来分析与处理，从而使得问题解决起来更直观有效.

其实，圆锥曲线中的基本概念、基本方程、基本公式等都是高考中常考的重要知识点之一，对于考查的选择题和填空题，有时题目比较容易，有时题目比较难，都不要轻视，要巧妙通过动手、动脑，融会贯通，化一般为特殊来巧妙处理，真正达到“动后熟悉，熟后思考，思后悟理，悟后掌握”的解题效果，全面培养数学素养，提升数学能力.H