利用多种思维技巧 优化函数问题的解法

☉重庆市长寿中学校 杨 梅

数学，拥有非常广泛的知识面，学生如果对其进行更加深入地探索也许会发现生活中处处都有函数的影子.学习函数不仅可以帮助学生掌握有关这方面的知识，同时还能让学生在学习的过程中触类旁通，能够熟练地去解决同类的其他问题，灵活运用类比的数学思维.

一、二次函数在闭区间上的最值问题

在研究二次函数图像上闭区间的二次函数的最值时，可以首先找一些代入性的例题进行初步的了解.比如下面这道简单的例题：

例1 在一个农场里修篱笆，农场主手里有60米的木材，修筑的篱笆场地其中有一条边是临墙的，此时设这块被围的场地边长为x米，场地面积为y平方米，请写出x与场地面积y的函数关系式，并且求x为何值时，篱笆场地面积最大？

这是一道简单的二次函数试题，解题过程如下：解：设宽为x米，则长为（60-2x）米，

y=x（60-2x）=-2x2+60x.

y=-2x2+60x=-2（x2-30x）=-2（x-15）2+450.

所以也就可以得出当边长为15时，所围面积最大为450.

在这个求解过程中，同学们就可以对二次函数有一个大致的了解.在接下来还需要进一步分析和探究.

例2已知二次函数y=f（x）的定义域为R，f（1）=2，在x=t处取得最值，若y=g（x）为一次函数，且f（x）+g（x）=x2+2x-3.

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）若x∈［-1，2］时，f（x）≥-1恒成立，求t的取值范围.

解：（1）设f（x）=a（x-t）2+b，又因为f（x）+g（x）=x2+2x-3，所以a=1，即f（x）=（x-t）2+b.

又f（1）=2，代入得（1-t）2+b=2，得b=-t2+2t+1，

所以f（x）=x2-2tx+2t+1.

（2）利用二次函数图像求函数f（x）在区间内的最小值，只需f（x）min≥-1即可.

①当t≤-1时，f（x）min≥-1不成立；

②当-1

③当t≥2时，（fx）min=（f2）≥-1，得t≤3，所以2≤t≤3.

以上两道试题的解答，就是帮助我们在接触二次函数的过程中逐渐体会二次函数的解题类型从而掌握更加系统的方法.

二、二次函数的单调性及最值问题

通过结合图像的方式，帮助我们在学习函数的过程中，能够更加清晰地掌握与函数的单调性以及最值有关的内容.

例3设f（x）=x2-2x-1在区间［t，t+1］上的最小值是g（t）.求g（t），并画出y=g（t）的图像.

解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2.

当1∈［t，t+1］，即0≤t≤1时，g（t）=-2；

当t＞1时，g（t）=f（t）=t2-2t-1；

当t＞0时，g（t）=f（t+1）=t2-2.

在这个解题的过程中，我们开始意识到二次函数在特定的范围内存在最值，这个最值可能是最大值也可能是最小值，而且一旦情况发生变化，这个最值的情况也会随之变动，这也就要求我们在运用数学思维求解二次函数问题时一定要综合考虑，熟练掌握公式各部分之间的含义，这样才能对数学学科的学习掌握一个更加科学合理的方法.

三、两个函数的交点及其他问题

二元一次方程和二元一次方程组的求解，不等式和不等式组等知识点.利用数形结合方法来解方程和方程组，实际上就是转化思路，把方程两边的式子作为一个简单函数，画出两边式子在坐标系中的图像，然后计算两边式子的交点，交点其实就是方程和方程组的解.图形和坐标轴的交点也有特定的含义，教师应该引导学生进行探索.解决函数、方程、方程组、不等式等题目，通常计算起来比较复杂麻烦，难以判断的是解的个数，这时通过数形结合方法对习题的答案的个数一目了然，并且有利于接下来计算的进行.

四、利用数形结合思想方法解决复杂问题

高中数学教学中的数形结合方法本质就是把代数和几何结合起来，把抽象的代数知识转化为具体的几何知识来进行解答，实现两者的互相补充，互相转化，让学生对高中数学知识掌握得更加深刻.

例4 如果实数x，y满足等式（x-2）2+y2=3，那么最大值是什么？

图1

这道题就是通过坐标系，把求比值的问题转化为在坐标系中求一条直线的斜率问题，把问题简化了.

综上所述，数形结合的思想在高中数学中的应用是非常广泛的，能够极大地减少不必要的计算，降低问题的复杂程度，提高计算的准确率.在以后的高中数学教学中应该被广泛地采用，使问题更加地直观，高中数学的解题速度极大地提高.