浅析高中数学教学中的“越位”现象

☉江苏省苏州市吴江区汾湖高中 王 铮

“越位”是足球比赛中的术语，它主要是对进攻方传接球的运动员位置做了限定，如果位置不合适，则会被判定“越位”.在我们的高中数学课堂上，教师和学生都有着明确的定位，然而很多教师受原有教学思维的束缚，出现挤占学生课堂主体地位的现象，笔者认为这是我们数学教学中的“越位”现象，要积极予以避免.

越位现象一、直接点出学生出现的错误

“要建议，而不是强迫他人接受”，这是波利亚在总结数学教学行为时提出的“教师十诫”之一，这一原则要求我们面对学生出现的一些错误时，不要直接点出其错误性，因为这很容易让学生产生一些逆反心理，甚至对教师和学习形成一种抵触情绪.如果出现这样的情况，我们在教学中的一系列努力都将劳而无获.

现象举例：比如有这样的例题，已知函数f（x）=asin2x+cos2x（a∈R）图像中的对称轴方程为定a的取值？

在教学过程中，我们很多同行将学生的错误直接点出来，这样的处理方式在很大程度上削弱了学生的数学兴趣，同时也让学生失去了一次很好的探究机会，无助于学生问题分析能力的提升.

通常来讲，如果没有刻意地提醒，学生也不会对a的取值情形进行检验，但是如果提醒学生进行检验，这又剥夺了学生思考的权利，因此对教师而言，这确实是一次小小的考验，稍不留神，就出现了越位的情形.

教学对策：在上述问题的处理过程中，笔者认为一种相对较好的处理方式应该是指导学生探求一题多解的方法，学生自然会在不同处理方法中探求答案的差别，这也将在很大程度上纠正学生的错误认识，进而对解题的一般化规律进行解决.

另外一个解题的方法是从正弦函数和余弦函数的对称轴着手，即对应的函数值应该是该函数的最大值或最小值，即这样学生必然会展开思考：为什么两种方法得出的结论存在差别，他们也会自发地从区别点着手，将代入函数式中，发现原先方法中的α根本就不是而是他们进一步探求原因，总结出在对形如“asinx+bcosx”的函数进行转变，得到“时，必须要结合a，b的取值特点来确定α终边所处象限，或是结合α终边所处象限来确定a，b的取值特点.这样的总结显然有助于学生在后续学习过程中避免一些失误.

越位现象二、过多地补充知识和方法

在教学过程中很多教师总感觉课堂时间太短，很多内容来不及讲，同样是一套教材，同样是一个课程标准，为什么他们的课堂总是如此拥挤，为什么他们有如此多的内容要补充？这很大程度上源自教师的主观臆断，在他们看来，只要多教一些公式或者方法给学生，学生就能在处理问题时拥有更加开阔的视角，他们也更容易在竞争过程中抢占先机，进而在考试中拔得头筹.这样的思路指导导致教师在课堂上无限度地进行挖掘和拓展，在数学知识的深度和广度等方面出现了严重失控的情形，即便如此，教师还总感觉自己的讲解或补充还不够深入全面，难度还没有达到要求.

这种越位现象最极端的情形出现在高一数学课堂，因为大多数学校的教师都是采用循环教学的模式，即很多教师都是在高三教学结束之后，转到高一年级.对这些教师而言，他们习惯了高三快节奏、高密度的教学，他们组织课堂的基本思路依然还是停留在对高三学生的指导上，为了指导学生对概念进行熟练与巩固，他们很可能将高考数学的模拟题和真题直接呈现在课堂上.这样的教学只会给学生一种疲于奔命的感觉，学生自然感到数学学习“压力山大”.

现象举例：当学生在学习均值不等式时，有的教师会将柯西不等式提前教给学生，这可是选修4系列中的内容，这是明显的越位现象.而且在教学过程中，由于时间和基础的限制，学生根本没有时间对这一知识形成深度的体会和感悟，他们只能机械地模仿，并采用生搬硬套的方式来完成解题，而且部分学生连等号什么时候成立都没有确定.所以，即便在新授课的过程中，学生依葫芦画瓢地完成了这一理论的运用，但是时间一长，这些内容还是会彻底地遗忘干净.

教学对策：就教学而言，按部就班、循序渐进是教学的基本原则，因此我们非常反对教师提前将后阶段的特殊结论或方法提前渗透给学生，尤其反对教师在高一教学高三化，将高考难度要求的问题直接展示在学生面前.在教学过程中，课程标准和学生的实际需要应该是我们组织教学的基本依据.教师要妥善分析教材，同时充分研究学生的最近发展区，将各种方法在适当的时候以适当的方式展示出来，这样的教学才是我们所追求的.就教学而言，即便我们要超过教材的限制，补充一定的内容，这种补充应该是对应学生的需要而进行的.笔者对此还有一个想法，即我们所补充的应该是一个情境，应该让学生在情境的引领下完成对补充内容的认识.

越位现象之三、替代学生完成问题的表征

问题表征应该是问题解决的关键步骤，它是研究者通过对问题的分析，建构问题空间的基本过程，这一过程反映着学生对问题最原始的认识和最初步的分析，然而教师在教学中经常带着学生审题，最终将表征的一系列操作一股脑地呈现在学生面前，这也是一种典型的越位现象.

现象举例：比如有这样的例题，已知有一个各项均为正整数的数列{an}，对于n=1，2，3，…，有an+1=如果存在m∈N*，当n>m且an是奇数时，则an恒定为某常数p，请确定p的值.

上述问题的审题是一大难点，很多学生也就是被卡在这道关卡上.和常规的数列问题不同，这道题目的初始项是未知的，因此本题应该视为“抽象数列”，部分教师直接代替学生进行分析，将问题隐含的意思揭示出来：如果an为奇数，则an+1=3an+5，则an+1明显为偶数；如果an为偶数，则可以将表达式中的2提取出来，因此存在最大正整数k，让an=2kb，此时的b是奇数，而an+1=b.这样问题所对应的数列就是一个奇偶相间的数列.则题目条件“如果存在m∈N*，当n>m且an是奇数时，则an恒定为某常数p”可以表征为：“假设an为奇数，则an+1=3an+5为偶数，an+2=为奇数且和an相等”，这将即可确定an的取值，即p的取值.

数学对策：数学难免会出现一些难题，教师切不可替代学生完成问题表征，而应该在关键性的节点通过启发性的问题指导学生展开思路，比如上述问题，教师可以提出问题：（1）假设an是一个特定偶数，请分析k取怎样的数值时可以使得an+1是一个奇数？（2）请分析数列的各项取值有何特点？通过这样的问题，我们可以对学生提供“引而不发”的点拨，进而让学生在更深入的分析中明确问题，提升问题表征的能力.

综上所述，数学教学在教学中要善于掌控介入学生学习的尺度，切不可发生“越位”的失误，须知足球比赛中的越位会导致进球无效、丧失球权等后果，课堂的越位会让我们的课堂教学功亏一篑，导致课堂教学的失败.W