高中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨

◎林钦明

引言：在高中数学的学习过程中，分类讨论思想的考查是高考中的重要组成部分，高三学生更应该加强对分类讨论知识点的掌握程度，但由于学生在思维方式上有着思考的不足，思维不够缜密的问题，所以在学生进行问题的解答中，经常会出现不够完备的分类标准，分类的方式不恰当，分类讨论重复或者缺漏，讨论结果处理不正确等的一些问题，本文从分类讨论应用中的科学性要求和分类标准的标准划分以及分类讨论在高中数学教解题中的具体应用等几个方面进行探究。

一、分类讨论应用中的科学性

分类讨论的过程具有科学性，笔者将利用高中数学的教学实际来仔细阐释这个定义，具体包括：要根据题目指出的相关信息来考虑参数的确定；要对参数进行合理分类，做到不重复讨论，也不遗漏分类；作答时应该做到层次清晰，条理明确，不跳级讨论［1］。教育教学过程中，有一些经常出现分类谈论的题目，［例如］已知函数a）x，求函数 f（x）的单调区间。［解析］．当 a≤0时，若0＜x＜1，则 f′（x）＜0，若 x＞1，则 f′（x）＞0，故函数 f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）；

当0＜a＜1时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

所以函数 f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间是（a，1）；

当a＞1时，同0＜a＜1时的解法，可得函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞），单调递减区间是（1，a）．

从这道例题中可以发现，分类讨论需要全面进行讨论，每一种情况都应该包含，但不能对参数值进行重复讨论，或者遗漏一些可能性，分类讨论过程应该简洁准确，要具有统一的标准进行合理清晰的讨论，不能够漫无目的的进行讨论。

二、分类讨论思想的标准划分

在高中数学解题过程中，需要利用到分类讨论思想的知识点越来越多，这为学生提供了解答的思路和条件。但是，教师要对分类讨论的思想进行有效应用，笔者认为，教师应该对分类思想进行分类标准的确定，这是为了更好的、更正确的解决数学问题。在解答数学问题中，进行分类讨论时，不能够遗漏分类的种类、也不能够没有一个固定参数的进行分类讨论。根据笔者在高中进行的多年的教学经验，笔者觉得该思想的几种分类标准为：首先，按照数学定义进行合理的划分。例如绝对值的问题，在学生进行解答问题时，应该对其各个参数分类进行缜密准确的考虑，以达到精准答题的目的［2］。其次，学生应该按照数学的相关的运算法则、定理、公式进行有效划分。然后，利用作图法来观察图形位置的改变，再考虑分类讨论的情况。在高中数学解题的过程中，根据图形位置的改变的分类讨论的相关应用较多，例如二次函数、几何图形等相关知识点。然后，根据相关的具特殊要求的数学问题进行分类讨论，以达到求得正解的目的。最后还有利用参数的变化进行分类讨论。

三、分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用

1．应用于函数解题中 在函数解题过程中，分类讨论的思想也在其中有着广泛的应用。在解题过程中，如果函数参数值有变化，这就一定会导致函数的结果产生相应的变化。所以，在利用分类讨论的思想来解决相关函数问题时，学生就应该对函数中的参数进行分类讨论。例如，在“已知函数f（x）＝ax2+2ax+1在区间［-3，2］上有最大值为4，求实数a的值．”的问题中，在解答该问题时，必须利用分类讨论思想，对函数中的参数值变化情况应该加以充分考虑。这道题目中，应该考虑三种情况，笔者对这三种情况进行了阐释，阐释如下：①当a＞0时，因对称轴为x＝-1，f（2）＝4，得 a＝3/8．②当 a＜0时，因对称轴为 x＝-1，f（-1）＝4，得a＝-3．③当a＝0时，f（x）＝1，不成立．由①②③得a＝3/8或a＝-3［3］。

2．应用于概率解题中 在概率解题过程中，分类讨论的思想在其中有着广泛的应用。在高中数学学习中，概率模块是高考的重要考点之一。在解答此类问题时，笔者觉得，要利用分类讨论思想必须要关注问题本身，根据题目中的具体要求进行分类，来达到求得最终答案的目的。例如，题目某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。要求他不需要补考就可获得证书的概率；不需要补考就获得证书的事件为A1·B1，注意到A1与B1相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得P（A1·B1）＝。这个题目能够启示学生，在进行概率分类讨论的之后，重点是观察题目中的要求［4］。

结束语：综合以上的探究能够发现，在高中数学教学过程中，分类讨论思想非常重要。除了在解题时能够辅助学生清晰、明确的完成对题目的解析和解答，并且长时间的对分类讨论思想的灵活运用能够帮助学生培养缜密的数学思维能力，这是对学生未来都会具有的十分重要的意义，同样的，这还能够帮助学生提高自身的严谨性和灵活性，高中时期是培养学生综合数学品质的关键时期，如果学生在这个过程中能够充分掌握分类讨论的思想，那么这对学生将来的发展都会提供重要的帮助。