向量积在中学数学中的应用

洪喜彬

【摘要】向量进入中学数学教材已有数年历史，甚至有些省份在初中开始就已接触向量，利用向量的方法解决中学数学问题具有极高的先进性和优越性.但中学所接触的向量知识并不全面，基于题型越为复杂、难度越加提高、覆盖面越广的高考命题趋势及中学生学习涉及面日渐广泛，一套更多、更好、更完整的向量解决方法急需为人所知、为人所用.

【关键词】向量积；应用；探讨

中学数学题型形式灵活、多变，结构变化无穷，难度逐渐增加，向量在中学数学中的渗透也日趋多元化.向量在中学阶段的介绍与学习却是不全面的，缺乏系统性和完整性，对向量积的相关知识内容并无涉及.而引入向量积的方法可有效地实现空间解析几何在实际问题中的作用，也凸显“数形结合”这一中心思想，并使中学生获得严谨的数学思维，同时也为解决同一类难题提供了有效的工具.总之而言，向量积作用不仅仅表现在学生解题能力的提高，而且表现在对其综合文化素质的提高，亦可为其以后的学习打下坚实基础.因此，把向量积的方法应用到中学数学中来并做总结与推广是十分有必要的.

一、向量积在立体几何中的应用

（一）利用向量积解决二面角问题

纵观历年各地高考试题，二面角问题在立体几何解答题中占有较大的分量.而二面角问题又因其灵活性极强、计算量较大的特点成为学生望而生畏的一类几何问题.若采用中学的常规方法（一般采用向量内积法）去解决这类题型，对于中下水平的学生而言无非是一种挑战，毕竟此类方法要求学生具有一定的空间想象能力和严谨的逻辑思维能力，否则解题过程将会出现多处漏洞，如钝角或锐角难以区分、法向量错乱、计算错误等等.

假若采用向量外积法，则精简了分析计算过程，省去了判断法向量方向的步骤，在一定程度上提高了运算的准确率，也便于在短时间内求出二面角.以下对此方法进行详细分析以及例题研究：

（二）利用向量积计算点线面间的距离问题

求异面直线间的距离是立体几何中较难的问题，在中学知识结构里面一般采用向量的数量积方法来解决，亦可作一定辅助性进行逐步分析，利用单纯的几何思想，建立在“点与线的距离”相关问题解决基础上解决.但总体而言，此类方法较为烦琐，对解题者有较高的解题能力要求，也较容易出错.若采用向量积的方法，可以使这个困难的问题统一地处理，得到一般的解题方法.

（三）关于在中学数学教学掺入向量积的探讨

从上可见向量积在中学数学解题中的应用极为广泛，与以往思想方法不同，既为难题提供了有效的解决方法也为学习者提高了解题效率.实际上向量积不仅可应用在数学领域，还可应用其他领域，尤其是物理学.向量积在中学中的作用可以说是非同寻常的，但当前新课标对向量积这一领域知识并无要求，学生自然而然对这方面的知识了解甚少，甚至潜移默化中感觉到中学向量系统有点不伦不类之感，没有完整的向量体系.那教师在实际教学当中是否应该主动渗透一些向量积的相关知识呢？以下笔者对此问题进行详细探讨.

基于对大量资料的整理和对当下教育现实的亲身理解，笔者对关于将向量积掺入中学数学实际教学当中的必要性与矛盾性进行深入探讨，其中包含基于客观现实和学习者主观因素的四大必要性及四大矛盾.

在中学数学实际教学中掺入向量积的必要性：

1.中学向量知识结构不完整.在向量实际教学当中，或许有不少学生疑问：教材中的数量积亦称为内积，那是否有向量的外积呢？学生带着疑问翻阅教材却没有发现有外积的少许痕迹，教师也没有提及关于外积的一些知识.虽然中学所接触到向量知识可以解决大量的几何问题，但水平较好的学生则会发现，中学所接触的向量知识较为简单，应用起来也较为单一，甚至有些几何题与其采用向量法不如利用传统的几何分析法（如作辅助线、三垂线定理等）解决.无形中给予学生一种空洞的感觉，心中并没有完整的向量知识体系，对于较难的题目应用数量积法较为烦琐，势必需要另外一种便捷、高效率的方法.于是，向量积在中学中的引入可以使得整个知识结构更加完整，可以丰富学生的阅读面以及提高其问题解决能力.

2.中学生具备同化向量积的知识结构.向量知识一般是被编排在中学学习的中间阶段，起到承上启下的作用.若在这里或者是再往后的学习资料中掺入一定向量外积的知识，学生完全具备接受新知识的能力，毕竟中学涉及的向量知识较为基础，而且经过学习立体几何之后，学生对待几何问题较为敏感并具有较强的空间想象能力、分析能力，對待向量问题也不失信心.

3.新课程数学思想方法的体现.向量积对于解决立体几何相关问题特显其魅力所在，而立体几何的核心思想是：几何直观和公理化思想——既强调图形整体的直观，注重合情推理，要求适当透过公理化思想，通过演绎推理来实现.“立体几何中平行、垂直位置关系”及“空间向量处理几何问题的具体操作”这两条核心链在新课标高考中的考查地位始终没有动摇，而这两条核心链正是向量积在中学数学应用的热门知识领域，向量积的引入更让学生感受“数形结合”的无穷魅力.目前中学生普遍存在缺乏几何证明、逻辑演绎推理等能力，教师在授课过程中应该用全新的眼光审视教材，因材施教，可适当引入向量积的相关知识，使学生学会透过本质看问题.

【参考文献】

[1]蒋大为.空间解析几何及其应用[M].北京：科学出版社，2004.

[2]严士健.向量及其应用[M].北京：高等教育出版社，2005.