用好数学阅读材料 内化数学核心素养*——“购房中的数学”优质课比赛教学实录与思考

●沈海全 (越州中学，浙江绍兴 312000)

1 教学内容与目标分析

1．1 地位和作用

本节课是人教A版《数学(必修5)》第2章末“探究与发现:购房中的数学”［1］中的内容，是学生在学习了等差数列、等比数列的基础上，以现实生活中“购房中的数学”这一实际模型为背景充分拓展数列的学习内容，让学生感悟数列与现实之间的关联，提高学生学习数列的兴趣，促进学生对等差、等比模型更好的理解．培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力和运用数列知识分析和解决实际问题的能力．

1．2 教学内容解析

在深入学习和探究数列的性质后，要善于将等差、等比数列模型应用于生活，将数列生活化，既加深了学生对数列知识的理解，又能让学生充分感受到数学源于对现实世界的抽象．数列在实际生活中有很多应用，例如人们在贷款、储蓄、购房、购物等经济生活中就涉及到大量的数列知识．本节课选取了购房贷款中等额本金还款法和等额本息还款法作为实例，让学生充分感受到数学在生活中的广泛应用，也能更好地从熟悉的事物中理解、体会、应用数学．通过本课题的探究，学生能感悟数学与现实的关联，学会用数列模型解决购房贷款问题，提升实践能力，增强创新意识和科学精神．

1．3 核心素养分析

“探究与发现:购房中的数学”是一个运用数列模型解决实际问题的案例．对学生而言，应用数列模型的过程是典型的数学建模的过程．在这个数学建模的过程中，学生需要有将数列模型应用于现实的意识，需要有数列知识作为基础．在实际情境中通过对现实问题的抽象、对数据进行分析，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、计算求解、检验结果．其实，这就是对现实问题进行数学抽象、用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程［2］．

1．4 目标与目标解析

1)通过本节课的学习，学生能感受到数列知识在实际生活中的应用，理解购房贷款中等额本金还款法与等额本息还款法的基本计算和思想方法，提高从数学角度发现和提出问题的能力以及分析和解决问题的能力．

2)在购房贷款的学习过程中，学生经历从实际问题中抽象出数学问题并建立等差、等比数列模型的过程，通过简单运算解决问题，能发展学生数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养．

3)通过本节课的学习，学生能认识数学的科学价值、应用价值，能提高学习数学的兴趣，增强学习数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力，树立善于思考、严谨求实的科学精神，不断提高实践能力．

本节课从购房贷款这一实际问题出发，利用数列知识建立数学模型并最终解决实际问题，学生经历数学抽象、数据舍取、归纳推理、思辨提升、度量计算的基本数学建模过程，经历从实际问题抽象出数学问题、从特殊到一般的过程，从而发展数学建模素养．

2 教学问题诊断与支持条件分析

学生已经学习了等差、等比数列的基础知识，为本节课打下了一定的基础，但系统地应用所学知识解决实际问题，即对如何抽象、如何建模并不熟悉，因此会遇到一定的困难．

根据以上分析，本节课的教学重点是解决两种还款方式的计算方法，同时对两种还款方式作出比较，提供决策依据，从中体会用数列模型刻画现实世界中的贷款问题，经历较完整的数学建模过程．教学难点是如何从实际问题中抽象出数列模型，并完成模型的求解、解释，教师通过设置合适的问题启发学生思考，让学生小组合作探究、动手实践完成建模过程，借助计算器等工具完成运算，从而有效突破难点．

为了有效地突破学生的思维难点，学生要先计算两种还款方式前几期的还款金额，从中发现等差、等比数列的数学模型，其他大量的计算将通过计算器和Excel软件完成后呈现．学生经过充分思考和动手实践，提高学生小组合作能力．为此，学生课前要准备好科学计算器，教师备好PPT和Excel计算数据．

3 课堂实录

3．1 创设情境，提出问题

购房贷款是现实生活中的常见问题，一般银行会提供两种还款方式，购房家庭该如何选择呢?

情景1购房是我们生活中的热门话题，这两年绍兴的房价涨幅很大，老师心里真的很着急，急什么呢?和在座同学的爸爸妈妈一样为了孩子读书的问题，因为儿子今年5岁了，眼看快到了上学的年龄，但是学区房还没有买好．看着身边同龄孩子的爸妈都已经准备好了，老师也实在等不及了，和家人商量后还是打算在近期购买学区房．这几天一直在找房子，其中有一套感觉比较适合．

有两种还款方式可以选择，即等额本金还款法和等额本息还款法．今天老师想和同学们一起用学过的知识来分析这两种还款方法，最后想让同学们给老师一些合理的建议．

师:根据以上购房贷款信息，哪些数据信息对两种还款方式的计算是有用的呢?生1:贷款60万元，分120期，月利率0．45%．师:那么等额本金还款法和等额本息还款法，该选哪一种呢?

设计意图通过现实生活中购房贷款问题的描述，激发学生的探究兴趣．学生要能从所给的信息中提取对计算还款有用的数据信息，能促进数据分析核心素养的提升．

3．2 合作探究，形成新知

3．2．1 等额本金还款法

等额本金还款法是指贷款人在还款期内，每月偿还贷款本金不变的一种还款方式，即:从贷款后的第二个月起，每月偿还相等的本金和该月所需的利息(注:向学生特别强调相等的本金和该月所需的全部利息)．

师:接下来我们一起来模拟如何还款，如果采用这种还款方法，第1期、第2期分别要还款多少呢?

情景2房子看好了，接下来90万的购房款是最大的问题．家庭经济状况:家庭每月总收入1．2万，现有存款33万，打算首付30万，商业贷款60万，按月还款，10年付清，共120期．

接下来老师咨询了银行的工作人员，他给了我这些信息:商业贷款10年期年利率为5．4%，月利7677．5元．

师:这位同学说得很好．接下来请同学们填好学案中表1的信息，并仔细观察等额本金还款法所蕴含的规律．

表1 等额本金还款法

生3:由等差数列的前n项和公式Sn=，可知共支付利息163350元，还款总额为763350元．

设计意图通过合适的问题引导，师生活动共同完成表格，完成表1的前面几行后，学生能观察出等额本金还款法蕴含的等差数列规律，就能运用等差数列的知识完成模型求解．在此活动过程中，学生经历了一个数学建模的过程，从实际问题的数据选取开始，再计算前几期的还款额，由特殊到一般的方法建立了等差数列的模型，将实际问题转化为数学问题，完成了数学问题的求解后也能解释其在实际问题中的含义．学生体会到了数学的科学价值、应用价值．

3．2．2 等额本息还款法

等额本息还款法是指贷款人在还款期内，每月偿还的本金及利息之和不变的一种还款方式，即:从贷款后第二个月起，每月以相等的款额平均偿还贷款本金和利息(特别注意:本息指的是本金和利息，通俗地讲就是每期的还款额是一样的)．

师:等额本息还款法每期的还款额是一样，但还是未知的，那如何计算呢?

生4:因为每期的还款额是一样，所以可以设为x万，我们可以类比等额本金还款法，先计算前

学生在完成表1后，教师提出问题．

师:表1中的数据有什么规律吗?

生3:每期本金不变，利息部分成递减的等差数列，每月还款额成递减的等差数列，公差都为－22．5元．

师:到第120期结束，共还了多少利息，总的还款额又是多少呢?面几期，然后观察是否有特殊规律．

师:这位同学说得太好了，那我们来计算下第1期的相关数据．

生5:可以这样来考虑，第1期末的时候，本金60万已经使用了一个月，本金和利息合计应还的总金额为60(1+0．45%)万，设第1期的还款额为x万，这样第1期末后，还欠的总金额为60(1+0．45%)－x万．

师:大家按照这样的思路，计算第2期末的情况，为了表达式简洁，我们将1+4．5%记为a．

生6:第2期末应还总额60a2－ax，第2期的还款额仍为x万，第2期末还款完成后，还欠的总金额为60a2－ax－x万．

师:很好!接下来，请同学们以4人为一组讨论填好学案中表2的信息，并讨论等额本息还款法所蕴含的规律以及未知量x如何求解．

表2 等额本息还款法

生7:等额本息还款法中蕴含着等比数列求和的规律，到第120期末的时候，还欠的总金额应为0元，从而60a120－a119x－a118－…－ax－x=0．

师:太棒了!这样代入已知的数据，就可以计算出未知量x了．

生7:是的，也就是60(1+0．45%)120－(1+0．45%)119x－(1+0．45%)118x－ … －(1+0．45%)x － x=0，即60(1+0．45%)120=(1+0．45%)119x+(1+0．45%)118x+… +(1+0．45%)x+x．由等比数列的求和公式，得

因此，每期还款额为6481．89元，还款总额为777826．38元，共支付利息为

777826．38 －600000=177826．38 元．

学生将体会到其中的等比数列规律．

设计意图师生共同完成表格，通过表2的填写，学生能观察出等额本息还款法所蕴含的等比数列规律，运用等比数列的知识完成模型求解．教师设置问题适当引导，学生小组合作探究，经历体验了从实际问题抽象出数学问题、从特殊到一般的数学建模的完整过程，发展了自主学习的能力，树立了善于思考、严谨求实的科学精神，不断提高实践能力，从而发展数学建模素养．

3．3 归纳对比，决策建议

师:请同学们结合老师家的实际经济情况，给一些合理的建议．

生8:我建议选择等额本金还款法，因为这样的话10年内可以少付利息14476．38元．

生9:根据实际经济情况，我建议选择等额本息还款法．因为家庭的月收入为1．2万，如果采用等额本金还款法，第一个月要还7700元，第二月要还7677．5元，这样每月余下来的只有4000多元，家里的日常费用会比较紧张．而采用等额本息还款法，每月的余额有5500多元，对家庭的日常费用会有缓解．

师:感谢两位同学的合理建议，这些建议都很有道理，看来老师还要和家人商量下再作选择．

设计意图这个环节将本节课推向了高潮，学生比较两种还款方式，思考其中的优缺点，并结合家庭实际情况，提出合理化的建议．在情境中潜移默化地让学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界．

3．4 回顾反思，小结提升

课堂小结让学生谈一谈今天这个研究性学习课的收获．

设计意图本节课学生经历了建立数列模型的基本步骤，比较两种还款方式的优劣，并给贷款人提供了合理的建议，从而提高学生的数学建模、数据分析、运算求解等能力．学生感知数学其实是来源于实际，并服务于实际，能用数学的眼光去看待问题、用数学的思维去思考问题、用数学的方法去解决问题．

3．5 针对实际，撰写报告

1)等额本金还款法:共支付利息163350元，偿还总额为763350元;等额本息还款法:共支付利息17782．38元，偿还总额为777826．38元．两者利息差额为14476．38元．

银行方面让贷款者自由选择，难道银行不想多赚点钱吗?贷款人选择等额本息还款法真的一定多付利息14476．38元吗?实际上对银行而言两种还款方法其实是一样的，你能解释其中的原因吗?

2)随着经济发展工资收入可能会越来越高，若有提前还款的可能性又该如何选择呢?

设计意图以上两个问题的抛出，会引起学生极大的思维冲突，激发学生的思维火花，为课后进一步自主探究提供了素材和方向．

4 教学思考

这节内容选自于人教A版教材的阅读材料，笔者以学生自主探究为主，充分发挥学生的主动性，课堂气氛和教学效果都超过了预期的设想，获得市直优质课比赛一等奖．鉴于此，针对高中阅读材料学习课，有以下两点思考:

1)以阅读材料为载体激活学生的数学思维，提升学生的数学体验．

数学源于对现实世界的抽象，《普通高中课程标准(2017年)》强调数学与生活的联系，阅读材料能引导学生学会用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界，提升学生用数学解决实际问题的能力．但在实际教学中最大的问题是:因为与考试没有直接的联系，教师很少关注教材阅读材料．数学课堂教学要为学生创造自主探究与发现的机会，培养学生终身受益的学习习惯和思维方法，而教材很多章节后面的“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”等阅读材料是很好的载体，可以有效激活学生的数学思维，提升学生的数学体验．

2)以阅读材料为载体放手数学课堂，内化数学核心素养．

让学生主动参与课堂、合作交流，就需要放手课堂，而阅读材料是很好的载体，在探究中体验知识的发生与发展过程，感受数学与实际的关联．在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、探索问题、解决问题，让学生多元地体验课堂．在问题的解决过程中内化数学核心素养，提升实践能力，增强创新意识．