运用平面向量解决解析几何问题

■江苏省镇江第一中学 张弘毅

平面向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体。解析几何中的有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，笔者发现运用向量进行形与数的转化，则会大大简化解题过程，为我们提供了一种创造性的解题方法。下面就学习过程中的点滴体会与大家分享，希望对大家有所启发，能起到抛砖引玉的作用

一、巧妙运用向量垂直的充要条件,轻松化解解析几何中的垂直问题

解析几何中的垂直往往利用直线斜率来处理，可由于直线位置的特殊性，使得解题过程不完备，运用向量垂直可以避开这个问题。利用a⊥b⇔a·b=0，可以解决垂直问题。

二、巧妙运用向量平行的充要条件,灵活转换解析几何中的平行或共线问题

已知a，b为非零向量，则a∥b⇔a=λ b(λ≠0)，利用向量平行可以将解析几何中的平行或者共线问题代数化，从而加以解决。

(1)求椭圆C的方程。

图1

(2)过点Q(-4，0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，在线段MN上取一点R，时，点R是否在某一定直线上运动?若在，请求出该定直线;若不在，请说明理由。

解析：(1)已知△F1A F2是边长为2的正三角形，则c=1，a=2，故椭圆C的方程为

(2)直线MN的斜率必存在，设其直线方程 为y=k(x+4)，并 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)。

故点R在定直线x=-1上运动。

总结：向量相等的充要条件是解题的关键，同时要注意设而不求技巧的运用。

三、充分借助向量的工具性,巧妙求解解析几何的综合题

以平面向量为载体的解析几何问题往往和向量、方程、不等式等知识联系在一起，解决这类问题的一般方法是利用平面向量的坐标表示方法，将问题中几何或向量关系，通过向量相关的运算性质转换成代数关系，即代数问题，利用解析几何的基础知识和方法求解。通常在这些试题中向量只是个壳，一些知识点如相等、垂直、平行等借助这个壳，以解析几何为知识载体，向量为工具，来考查我们分析问题与解决问题的能力。

总结：通观全题的解题思路，应该说解法还是常规的，在平时的学习中要注重通法。也就是说看到题目之后，就应该明确怎样往下走。对于这个条件，当然可以换另外一种表述方式，这里使用向量来表达此条件，其实是告诉我们向量在这里只是一种工具而已，而我们所要做的就是借助向量这个工具去解决问题。