动态经济学数学建模及稳定化控制分析

蔡佐威　黄立宏

摘 要 通过考虑需求函数和供给函数受到不连续因素的影响以及引进切换型的控制策略，建立由右端不连续微分方程刻画的非线性价格调整模型.利用微分包含理论和Lyapunov稳定性方法分析不连续价格调整模型的有限时间稳定化控制问题，并给出数值模拟实例进行验证说明.最后，结合动态经济学数学建模提出数学建模教学改革的几点建议.

关键词 应用数学；有限时间稳定化；Lyapunov函数法；动态经济学；数学建模

中图分类号 O193； O231； F22 文献标识码 A

Abstract By considering the influence of discontinuous factors on demand function and supply function and introducing the control strategy of switching type， a nonlinear price adjustment model described by discontinuous differential equation is established. By using differential inclusion theory and Lyapunov stability method， the finite time stabilization control problem of the discontinuous price adjustment model is analyzed. Moreover， the numerical simulation examples are given to verify the results. Finally， combining the mathematical modeling of dynamic economics， several suggestions on the teaching reform of mathematical modeling is put forward.

Key words applied mathematics； finite-time stabilization； Lyapunov function method； dynamic economics； mathematical modeling

1 引 言

數学建模无论在科学技术研究还是在国民经济建设中都起着尤为重要的作用.数学建模主要是利用数学语言对社会经济活动中的实际问题和现象进行描述，并通过对寻找变量之间的关系建立出由函数或方程刻画的数学模型.经济学家认为经济变量是动态的，会随着时间的变化而改变，所以对经济系统进行数学建模和动态分析是非常必要的.对经济

系统模型进行动态分析最早可追溯到20世纪30年代末，Samuelson （1939）[1]利用动态分析理论对经济周期模型进行了研究，并且指出如果经济学的研究者没有掌握一定的动态分析理论，将会影响对现代经济学的理解.Romer （1986）[2]对经济动态增长问题进行了研究，并掀起了动态经济学的研究高潮.目前动态经济学已经成为经济学中一个重要的研究方向，并渗透到了宏观经济学和微观经济学的许多领域，动态经济学的课程也在欧美很多高校进行了开设.此外，经济学与控制论是密切相关的，Sengupta和Fanchon（1997）[3]建立了LQG问题中的分离定理与控制论有密切的关系.在经济系统模型引入政策变量和决策变量等控制变量对经济的宏观调控能起到积极的指导作用，例如政府的支出、利率的调整、货币的发行、消费策略等都可作为经济控制变量.关于经济学数学建模和动力学分析需要用到一些新颖的工具和方法，例如，Akira （2001）[4]探讨了非线性规划、不确定性和最优控制理论等经济学分析方法；王翼和王歆明（2006）[5]利用Matlab工具研究动态经济学问题；Filippov （1988）[6]阐述了微分包含理论；Clarke （1983）[7]介绍了非光滑分析方法；Forti等 （2006）[8]推广了Lyapunov函数法.近年，关于经济学数学建模和动力学分析有一些很好的结论.陈燕燕 （2017）[9]建立了基于金融混沌系统的线性控制模型，并实现了对系统的稳定性控制.徐玉华等 （2017）[10]利用动力学原理建立经济学模型，并研究了均衡解的稳定性.总之，在高校研究生或大学生的数学建模课程学习与实践中，动态经济学建模与动态分析是非常热门的研究方向之一.对动态经济学进行数学建模和动态分析无论对高校学生逻辑推理、空间想象和科学计算等数学思维能力的培养，还是对推动科学技术和经济的发展都起着尤为重要的指导作用.

2 动态经济学数学建模分析

2.1 动态经济学数学建模过程

动态经济学的数学建模不但会运用到数学理论知识和方法，例如常微分方程、泛函微分方程、线性代数、概率论、Lyapunov稳定性方法等，还会用到经济学原理、现代控制理论和计算机软件编程等相关专业的知识.众所周知，产品的价格由市场供求来决定，当产品供大于求时，产品的价格将会下降，而当产品供不应求时，产品价格就会上涨.这种产品价格的变化过程可近似由微分方程系统来描述.因为经济系统是动态的，经济变量随着时间的变化而改变.当产品价格的变化与供求差额成正比时，可得到如下由常微分方程描述的n种产品的非线性价格调整模型：

3 结 论

通过考虑需求函数和供给函数受到不连续因素的影响并引进切换型的控制策略，对非线性价格调

整模型进行了数学建模与有限时间稳定化控制分析.数学建模本身就与经济发展和科学技术的进步密切联系.在数学建模的研究和教学过程中应利用经典的数学理论与方法进行科学研究并解决经济生活中存在的问题.通过分析，对动态经济学的研究和高校人才培养及数学建模教学改革有如下几点建议：（1）数学建模应紧密联系当前的社会经济需求，特别是与前沿的经济科学问题紧密联系.（2）加强数学建模教学过程中的专业性建设，提高高等学校专任教师及科研人员的综合素质，特别是加大对高层次跨学科人才的培养.（3）在高校研究生与本科生相关专业的人才培养过程中，应开展动态经济学的数学建模和动态分析研究.

参考文献

[1] Samuelson P A. Interactions Between The Multiplier Analysis and The Principle of Acceleration [J]. The Review of Economics and Statistics， 1939（21）： 75-78.

[2] Romer P M. Increasing Returns and Long-run Growth [J]. Journal of Political Economy， 1986， 94（5）： 1002-1037.

[3] Sengupta J K， Fanchon P. Control Theory Methods in Economics [M]. New York： Kluwer Academic Publishers， 1997.

[4] Akira Takayama. 經济学中的分析方法[M]. 北京： 中国人民大学出版社， 2001.

[5] 王翼， 王歆明. Matlab在动态经济学中的应用[M]. 北京： 机械工业出版社， 2006.

[6] Filippov A F. Differential Equations with Discontinuous Right-hand Side [M]. Boston， Kluwer Academic， 1988.

[7] Clarke F H. Optimization and Nonsmooth Analysis [M]. New York： Wiley， 1983.

[8] Forti M， Grazzini M， Nistri P， et al. Generalized Lyapunov Approach for Convergence of Neural Networks with Discontinuous or Non-Lipschitz Activations [J]. Physica D， 2006， 214： 88-89.

[9] 陈燕燕. 一类金融混沌系统的线性控制模型[J]. 经济数学， 2017， 34（4）： 48-52.

[10]徐玉华， 克忠义， 杜明娟， 白雪寒. 基于动力学视角的经济时间序列分析[J]. 经济数学， 2017， 34（4）： 85-88.