颜色读数与物质浓度关系的数学建模

王雪萍

摘 要 比色法作为一种检测物质浓度的常用方法，是通过待测物质溶液颜色读数来推测所含物质浓度，根据所提供的物质浓度与不同色卡颜色读数的试验数据，对物质浓度和颜色读数进行相关性分析，拟合颜色读数与物质浓度的指数模型和建立灰色预测模型，对这两种模型的拟合值与原始值的误差进行比较分析，给出了颜色读数与物质浓度关系的优化模型.

关键词 物质浓度；指数模型；灰色预测；绝对误差；相对误差

中图分类号 O029 文献标识码 A

Abstract As a common method of testing material concentration， Colorimetry is speculating the material concentration by the color reading of material in solution， which based on the experimental data between provided material concentration and different colour atlas. To conduct correlation analysis about color reading and material concentration， matching the exponential model of color reading and material concentration， then establish gray prediction model. Compare the fitted values of these two models with the error of the original value， and get the optimization model of the relationship between color reading and material concentration.

Key words material concentration； exponential model； gray prediction； absolute error； relative error

1 問题提出

比色法是目前常用的一种检测物质浓度含量的一种的方法，几乎所有的无机离子和有机化合物都可直接或间接地使用本方法测定，即把待测物质制备成溶液后滴在特定的白色试纸表面，等其充分反应以后获得一张有颜色的试纸，再把该颜色试纸与一个标准比色卡进行对比，就可以确定待测物质的浓度档位了，其特点是操作简单，测定速度快，具有较高的准确度和灵敏度，广泛应用在工农业生产、医药卫生、环境保护和科学实验等领域.如：葡糖酒中酒精含量的测定[1]，水样中的氯化物含量[2]，牛乳中蛋白质的含量[3]，天花粉中二氧化硫残留量[4]，水中重金属铅离子快速检测[5]，金黄色葡萄球菌肠毒素B的检测[6]，矿物中锑含量的测定[7]等微量物质的分析检测中.而大部分的研究在于比色法中溶液的配置、光波的波长和吸光度对检测物质浓度的影响，而对于色卡读数的大小与物质浓度的高低的关系的研究较少.由于每个人对颜色的敏感差异和观测误差，使得这一方法在精度上受到很大影响.随着照相技术和颜色分辨率的提高，希望建立颜色读数和物质浓度的数量关系，即只要输入照片中的颜色读数就能够获得待测物质的浓度.需要研究和解决如下问题：

一是根据提供的5种物质在不同浓度下的颜色读数的试验数据，讨论这5组数据中能否确定颜色读数和物质浓度之间的关系，并给出一些准则来评价这5组数据的优劣.

二是根据二氧化硫的试验数据，建立颜色读数和物质浓度的数学模型，并给出模型的误差分析[8].

2 问题分析与假设

由于提供的不同色卡的颜色读数与不同物质浓度数据中，每一种物质在同浓度下都存在一组或者是多组实验值，为了准确预测物质浓度和颜色读数之间的关系，对各物质在同浓度下的颜色读数取均值，用均值进行分析和建立模型.

对于问题一，每种物质在不同浓度下有不同的颜色读数，首先做出物质浓度与各颜色读数的散点图，分析物质浓度与颜色读数的散点图有无趋势，来判断二者有无相关性；其次，对物质浓度和5种颜色读数做相关性检验，根据相关系数大小，确定能否判断颜色读数与物质浓度之间的关系.然后根据物质浓度和颜色读数的散点图趋势和相关系数的大小评价数据的优劣.

对于问题二，根据提供的数据，算出二氧化硫在同浓度下颜色读数的均值，计算物质浓度与颜色读数之间的相关系数，比较各相关系数大小和散点图趋势形状，选择相关系数较大的色卡颜色读数，考虑到实验数据量较少，适合进行插值拟合或选择灰色预测模型，因此，分别对物质浓度和色卡颜色度数拟合指数模型和建立灰色预测模型，并计算两种模型下原始数据与预测数据的绝对误差和相对误差，相比较选择最优模型.

由于在比色分析法中，温度、时间、光的强度、眼睛对颜色的观察偏差等对试验结果都会产生影响，为了问题的顺利解决，做出如下一些合理的假设：不考虑光的波长和吸收强度的影响，试验在最佳温度20°～30°之间，数据是真实可靠的，在制作颜色试纸时是完全反应，没有溶液的挥发；各颜色读数之间相互独立；物质浓度只与数据中蓝色（B）、绿色（G）、红色（R）、色调（H）、饱和度（S）有关；表格中空白处浓度与每组浓度第一个相同；比色卡档位正确，且特定的白色试纸标准无误.

3 模型选择与建立

3.1 颜色读数与物质浓度的关系分析

根据问题分析，首先做出组胺物质浓度与颜色读数的散点图，见图1，由散点图可以看出，各色卡颜色读数与组胺浓度之间有着一定的趋势，除了浓度随饱和度色卡读数的增加而增大以外，其他的色卡都是浓度随着色卡读数的增大而减小.

根据图1散点图的趋势，分析发现物质浓度与颜色读数有明显相关趋势，分别对各物质浓度与5种色卡颜色读数进行相关性检验，相关系数见表1.

由表1各物质浓度与5种色卡颜色读数的相关系数大小可知，绿色色卡读数与奶中尿素浓度相关系数为0，二者不相关，红色色卡读数与溴酸钾浓度和奶中尿素浓度相关系数分别是-0.167和-0.224，弱相关性，工业碱浓度与蓝色色卡读数相关系数-0.49，溴酸钾浓度与饱和度色卡读数相关系数0.426，其余的物质浓度与色卡颜色读数的相关系数绝对值均大于0.5，即存在显著的相关性.结合散点图和相关系数，除了红色色卡读数不能确定溴酸钾和奶中尿素的浓度，绿色色卡读数不能确定奶中尿素浓度以外，其他色卡读数都能确定物质浓度.

通过颜色读数与物质浓度的相关性检验，物质浓度与各色卡读数的相关性由大到小依次是：蓝色、饱和度、色调、绿色和红色；为了使物质浓度的检测准确，选择相关系数最大的色卡检测相关物质浓度；即用绿色色卡检测组胺濃度，用蓝色色卡检测溴酸钾浓度，用色调色卡检测工业碱浓度，用绿色色卡检测硫酸铝钾浓度，用饱和度色卡检测奶中尿素浓度.

3.2 颜色读数与物质浓度的数学模型

由于提供的二氧化硫浓度与不同色卡读数的数据存在每个浓度值对应3组或3组以上的实验数据，为了方便研究，取各组实验数据的平均值来表示对应浓度的颜色读数，并判断物质浓度与5种色卡颜色读数的相关性，各色卡颜色读数与物质浓度的相关系数见表2，二氧化硫浓度与饱和度色卡读数的相关系数为0.023，二者不相关，其余色卡读数与二氧化硫浓度的相关系数绝对值均大于0.6，即二者均存在显著相关，虽然二氧化硫物质浓度与其余4个色卡颜色读数之间都具有显著的相关性，但由于5种色卡读数检测二氧化硫物质浓度是彼此独立的，故不能用其余4种色卡颜色读数对二氧化硫浓度做多元线性回归.

比较各颜色读数与物质浓度之间的相关系数，红色色卡（R），绿色色卡（G），色调色卡（H）与二氧化硫物质浓度的相关系数绝对值均大于0.8，二者存在高度相关性，由于数据量少，对于较少数据量的样本，在统计学中适合插值和拟合或建立灰色预测模型，通过散点图趋势观察（见图2），可以看出二氧化硫浓度与饱和度色卡之间没有趋势以外，与其他4种色卡之间的读数呈指数函数曲线上升或下降，用相关系数大于0.8的色卡R、G、H 这三种色卡的颜色读数对二氧化硫浓度拟合指数模型和建立灰色预测模型，并对两种模型进行误差分析，确定一个较好的模型.

通过对相同浓度的各组实验数据的分散度进行统计分析，分别计算各组实验数据的方差和平均绝对偏差，计算各组实验数据的绝对偏差和平均绝对偏差，见表3.

由表3可以看出，浓度相同的情况下，绿色色卡的读数平均方差和平均绝对偏差都最小，即绿色色卡的读数对浓度的检测更准确，其它依次是红色色卡、饱和度色卡、蓝色色卡、色调色卡.为了进一步准确的描述二氧化硫浓度和颜色色卡读数的数量关系，根据散点图趋势构建指数模型.

4 结 论

依据题目中给出的数据，分析各颜色读数与物质浓度之间的关系，对物质浓度和颜色读数的关系进行了统计分析和数学建模，通过拟合指数函数模型和建立灰色预测模型，并对模型进行了误差分析，给出了物质浓度与颜色色卡读数之间的最优模型，对于根据颜色读数检测物质浓度含量有一定的现实意义.

参考文献

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